Номер 20.8, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.5). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Рис. 20.5

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые ребра, перпендикулярные основаниям, также равны 1.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

а) Найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

1. Найдем длины векторов. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, длина ребра $AB$ равна 1 и длина ребра $CC_1$ равна 1. Таким образом, $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CC_1}| = 1$.

2. Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$. Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, значит, она прямая. Это означает, что боковые ребра (включая $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований (включая плоскость $ABC$). Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$. Следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. Угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$.

3. Вычислим скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{CC_1} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CC_1}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) Найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

1. Найдем длины векторов. По условию, все ребра равны 1. Значит, $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{B_1C_1}| = 1$.

2. Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$. В призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и одинаково ориентированы. Поэтому вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$ (они сонаправлены и имеют одинаковую длину). Таким образом, задача сводится к нахождению скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

3. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это внешний угол при вершине $B$ треугольника $ABC$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник, поэтому внутренний угол $\angle ABC = 60^\circ$. Чтобы найти угол между векторами, их нужно отложить от одной точки. Если мы отложим от точки $B$ вектор, равный $\vec{AB}$, то он будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{BA}$. Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $60^\circ$. Угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{BC}$ будет равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Вычислим скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ)$. Так как $|\vec{AB}| = 1$, $|\vec{BC}| = 1$ и $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: -0.5