Номер 20.3, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 20.5) найдите угол между векторами:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{CC_1}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{B_1C_1}$.

Рис. 20.5

а) Найдём угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной. Это означает, что её основаниями являются правильные треугольники, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, призма является прямой.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$. Вектор $\vec{CC_1}$ направлен вдоль бокового ребра $CC_1$.

Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CC_1$ равен $90^\circ$, а значит, и угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Найдём угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Для нахождения угла между векторами необходимо совместить их начала путём параллельного переноса.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$ (так как четырёхугольник $BCC_1B_1$ — параллелограмм, а точнее, прямоугольник).

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходящими из одной точки $B$, равен углу $\angle ABC$ в основании. Поскольку основание $ABC$ — правильный треугольник, все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle (\vec{BA}, \vec{BC}) = \angle ABC = 60^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$, то есть $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{BC}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Следовательно, искомый угол равен $180^\circ - \angle (\vec{BA}, \vec{BC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.