Номер 19.10, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.10. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Докажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

По условию, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Нам нужно доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить через другой, умноженный на некоторое число (скаляр), либо если один из векторов является нулевым.

Поскольку векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны, существует такое действительное число $k$, что выполняется одно из следующих равенств:
1) $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$
2) $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$
Из этого равенства следует, что $\vec{a} = \vec{b}$. Это можно записать как $\vec{a} = 1 \cdot \vec{b}$. По определению, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Случай 2: $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$
Преобразуем это векторное равенство. Раскроем скобки:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
Соберем слагаемые с вектором $\vec{a}$ в левой части, а с вектором $\vec{b}$ — в правой:
$\vec{a} - k\vec{a} = -k\vec{b} - \vec{b}$
Вынесем векторы за скобки:
$(1-k)\vec{a} = -(1+k)\vec{b}$
Теперь проанализируем полученное соотношение.
• Если $1-k \ne 0$, то мы можем разделить обе части на $(1-k)$:
$\vec{a} = -\frac{1+k}{1-k}\vec{b}$
Обозначим скаляр $m = -\frac{1+k}{1-k}$. Тогда мы получаем равенство $\vec{a} = m\vec{b}$, которое по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
• Если $1-k = 0$, то $k=1$. Подставим это значение в уравнение $(1-k)\vec{a} = -(1+k)\vec{b}$:
$(1-1)\vec{a} = -(1+1)\vec{b}$
$0 \cdot \vec{a} = -2\vec{b}$
$\vec{0} = -2\vec{b}$
Отсюда следует, что $\vec{b} = \vec{0}$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору $\vec{a}$ (так как $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$). Следовательно, и в этом подслучае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них пришли к выводу, что из коллинеарности векторов $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ следует коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Утверждение доказано.