Номер 19.9, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 19. Компланарные векторы. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 19.9, страница 100.

Условия.

19.9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 19.4) выразите через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AF}$ и $\overline{AA_1}$ вектор:

а) $\overline{AD_1}$;

б) $\overline{AC_1}$.

Рис. 19.4

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи будем выражать искомые векторы через базисные векторы $ \overline{AB} $, $ \overline{AF} $ и $ \overline{AA_1} $. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника.

Для решения нам понадобятся некоторые свойства векторов в правильном шестиугольнике:

1. Вектор, соединяющий вершину с центром, равен сумме векторов, идущих из этой же вершины в две соседние. Для вершины $A$: $ \overline{AO} = \overline{AB} + \overline{AF} $.

2. Вектор стороны $BC$ равен вектору $AO$: $ \overline{BC} = \overline{AO} $. Это следует из того, что четырехугольник $ABCO$ является ромбом.

3. Главная диагональ $AD$ проходит через центр $O$, который является ее серединой. Следовательно, $ \overline{AD} = 2\overline{AO} $.

а) $\overline{AD_1}$

Представим вектор $ \overline{AD_1} $ в виде суммы векторов по правилу треугольника (или правилу параллелепипеда): $ \overline{AD_1} = \overline{AD} + \overline{DD_1} $.

Так как призма правильная, ее боковые ребра равны и параллельны. Поэтому вектор бокового ребра $ \overline{DD_1} $ равен вектору $ \overline{AA_1} $: $ \overline{DD_1} = \overline{AA_1} $.

Вектор $ \overline{AD} $ — это главная диагональ шестиугольника в основании. Используя свойства 1 и 3, получаем: $ \overline{AD} = 2\overline{AO} = 2(\overline{AB} + \overline{AF}) = 2\overline{AB} + 2\overline{AF} $.

Теперь, объединив все вместе, получаем выражение для $ \overline{AD_1} $: $ \overline{AD_1} = (2\overline{AB} + 2\overline{AF}) + \overline{AA_1} $.

Ответ: $ \overline{AD_1} = 2\overline{AB} + 2\overline{AF} + \overline{AA_1} $.

б) $\overline{AC_1}$

Представим вектор $ \overline{AC_1} $ в виде суммы векторов: $ \overline{AC_1} = \overline{AC} + \overline{CC_1} $.

Вектор бокового ребра $ \overline{CC_1} $ равен вектору $ \overline{AA_1} $: $ \overline{CC_1} = \overline{AA_1} $.

Вектор диагонали $ \overline{AC} $ в основании найдем по правилу сложения векторов: $ \overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} $.

Используя свойства 1 и 2, выразим $ \overline{BC} $: $ \overline{BC} = \overline{AO} = \overline{AB} + \overline{AF} $.

Подставим это выражение в формулу для $ \overline{AC} $: $ \overline{AC} = \overline{AB} + (\overline{AB} + \overline{AF}) = 2\overline{AB} + \overline{AF} $.

Наконец, получаем итоговое выражение для $ \overline{AC_1} $: $ \overline{AC_1} = (2\overline{AB} + \overline{AF}) + \overline{AA_1} $.

Ответ: $ \overline{AC_1} = 2\overline{AB} + \overline{AF} + \overline{AA_1} $.