Вопросы, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется углом между векторами?

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

4. Как обозначается скалярное произведение?

5. Что называется скалярным квадратом?

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

1. Что называется углом между векторами?

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол между лучами $OA$ и $OB$, где $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то есть векторы отложены от одной точки. Этот угол, обозначаемый как $\alpha$ или $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определен, но для удобства его можно считать любым.

Ответ: Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется наименьший угол между ними. Его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Нулевой вектор считается перпендикулярным любому вектору.

Ответ: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$.

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов является нулевым, их скалярное произведение считается равным нулю. Формула для скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Ответ: Скалярное произведение — это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

4. Как обозначается скалярное произведение?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обычно обозначается точкой между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Также в некоторых источниках можно встретить обозначение в виде $(\vec{a}, \vec{b})$ или просто $\vec{a}\vec{b}$.

Ответ: Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

5. Что называется скалярным квадратом?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Обозначается как $\vec{a}^2$. Так как угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ)=1$, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля):

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2$

Ответ: Скалярный квадрат — это скалярное произведение вектора на самого себя, равное квадрату длины этого вектора.

6. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это возможно в двух случаях:

1. Хотя бы один из векторов является нулевым (то есть его длина $|\vec{a}|$ или $|\vec{b}|$ равна нулю).

2. Векторы перпендикулярны (ортогональны). В этом случае угол между ними $\alpha = 90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: Скалярное произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

7. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

В физике скалярное произведение имеет смысл механической работы. Если тело перемещается прямолинейно на вектор $\vec{s}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$, то работа $A$, совершаемая этой силой, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos(\alpha)$

Здесь $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения. Таким образом, работа равна произведению модуля перемещения на проекцию силы на направление перемещения.

Ответ: Физический смысл скалярного произведения — это работа, совершаемая постоянной силой при прямолинейном перемещении тела.