Номер 20.6, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Рис. 20.8

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AA_1} = A_1 - A = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$.
$\vec{BC_1} = C_1 - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (-1, 0, 1)$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$
Координаты вектора $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ и его длина $|\vec{AA_1}| = 1$ найдены в предыдущем пункте.
Найдем координаты вектора $\vec{DE_1}$:
$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2}-(-1), -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Найдем длину вектора $\vec{DE_1}$:
$|\vec{DE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AB} = B - A = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{BC_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а).
Найдем длины векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:
$\cos\alpha = \frac{1/2}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$
Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{CD}$, так как $C_1D_1DC$ - параллелограмм (в данном случае, квадрат). Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$ равен углу между сторонами основания $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{AB} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (из пункта в).
$\vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-1-(-\frac{1}{2}), 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Длины этих векторов равны 1 (как ребра призмы).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{C_1D_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{-1/2}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BC_1}$
Найдем координаты векторов:
$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$\vec{BC_1} = (-1, 0, 1)$ (из пункта а).
Найдем длины векторов:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{2}$ (из пункта а).
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{BC_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{4})$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$
Вектор $\vec{B_1D_1}$ параллелен вектору $\vec{BD}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$ равен углу между диагоналями основания $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.
Координаты вектора $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и его длина $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$ найдены в пункте д.
Найдем координаты вектора $\vec{B_1D_1}$:
$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Найдем длину вектора $\vec{B_1D_1}$:
$|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$
Вектор $\vec{B_1E_1}$ параллелен вектору $\vec{BE}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$ равен углу между диагоналями основания $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$.
Координаты вектора $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и его длина $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$ найдены в пункте д.
Найдем координаты вектора $\vec{B_1E_1}$:
$\vec{B_1E_1} = E_1 - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.
Найдем длину вектора $\vec{B_1E_1}$:
$|\vec{B_1E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Угол $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.