Номер 20.11, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 20.8). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$.

Рис. 20.8

В основе правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, таких как $AA_1$) также равна 1.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. Также будем использовать свойства скалярного произведения и разложение векторов.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Угол между векторами смежных сторон, например $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$

Разложим вектор $\vec{BC_1}$ на сумму двух векторов: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{BC} + \vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1}$.

Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. Вектор $\vec{BC}$ лежит в плоскости основания, следовательно, $\vec{AA_1} \perp \vec{BC}$, и их скалярное произведение равно 0.

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ равны, так как это боковые ребра прямой призмы. Таким образом, $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$. Их длины равны 1.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{CC_1} = \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AA_1}|^2 = 1^2 = 1$.

Итого, $\vec{AA_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$

Решение аналогично пункту а). Разложим вектор $\vec{DE_1}$ на сумму: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.

$\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = \vec{AA_1} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{AA_1} \cdot \vec{DE} + \vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1}$.

Вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{DE}$ (так как $\vec{DE}$ лежит в основании), поэтому $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE} = 0$.

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{EE_1}$ равны и их длины равны 1. Поэтому $\vec{AA_1} \cdot \vec{EE_1} = |\vec{AA_1}|^2 = 1^2 = 1$.

В результате получаем $\vec{AA_1} \cdot \vec{DE_1} = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

Так как основания призмы параллельны и равны, вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, нам нужно найти $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$.

Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это внешний угол при вершине B правильного шестиугольника, который равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$

Аналогично предыдущему пункту, $\vec{C_1D_1} = \vec{CD}$. Ищем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$.

В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна диагонали $AF$ и сонаправлена с вектором $\vec{AF}$. Таким образом, $\vec{CD} = \vec{AF}$.

Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot \vec{AF}$.

Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AF}| = 1$. Угол между ними — это внутренний угол шестиугольника $\angle FAB = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AF} = |\vec{AB}| |\vec{AF}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$

Заменяем $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Разложим вектор $\vec{AC}$ по правилу треугольника: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + |\vec{BC}|^2$.

Из пункта в) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$.

Длина ребра $|\vec{BC}| = 1$, поэтому $|\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Заменяем $\vec{B_1D_1}$ на $\vec{BD}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.

Разложим оба вектора по сторонам шестиугольника: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{BC} + \vec{CD}) = \vec{AB}\cdot\vec{BC} + \vec{AB}\cdot\vec{CD} + \vec{BC}\cdot\vec{BC} + \vec{BC}\cdot\vec{CD}$.

Посчитаем каждое слагаемое:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$ (из пункта в).

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -\frac{1}{2}$ (из пункта г).

$|\vec{BC}|^2 = 1^2 = 1$.

$\vec{BC} \cdot \vec{CD}$: Угол между векторами смежных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $60^\circ$. $\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}||\vec{CD}|\cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Суммируем: $\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$

Заменяем $\vec{B_1E_1}$ на $\vec{BE}$. Ищем $\vec{AC} \cdot \vec{BE}$.

Воспользуемся методом координат, поместив центр основания O в начало координат (0,0). Пусть вершина A имеет координаты $(1, 0)$. Тогда, т.к. сторона шестиугольника равна 1, координаты других вершин будут:

$A=(1, 0, 0)$, $B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдём координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ перпендикулярны.

Ответ: 0.