Номер 20.5, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.5. В правильной шестиугольной

пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 20.7). Найдите

угол между векторами:

а) $\overline{SA}$ и $\overline{SD}$;

б) $\overline{SA}$ и $\overline{BC}$.

Рис. 20.7

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ все стороны основания $ABCDEF$ равны 1, а все боковые ребра равны 2. Основанием является правильный шестиугольник.

а)

Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle ASD$ в треугольнике $\triangle ASD$, так как векторы исходят из одной точки $S$. Найдем стороны этого треугольника.

Стороны $SA$ и $SD$ являются боковыми ребрами пирамиды, поэтому по условию их длины равны 2:

$|\vec{SA}| = SA = 2$

$|\vec{SD}| = SD = 2$

Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны. Так как сторона основания равна 1, то длина диагонали $AD$ равна $2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, треугольник $\triangle ASD$ имеет стороны $SA=2$, $SD=2$ и $AD=2$. Следовательно, $\triangle ASD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Значит, угол $\angle ASD = 60^{\circ}$.

В качестве альтернативы можно использовать теорему косинусов для треугольника $\triangle ASD$:

$AD^2 = SA^2 + SD^2 - 2 \cdot SA \cdot SD \cdot \cos(\angle ASD)$

$2^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASD)$

$4 = 4 + 4 - 8 \cos(\angle ASD)$

$4 = 8 - 8 \cos(\angle ASD)$

$8 \cos(\angle ASD) = 4$

$\cos(\angle ASD) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$\angle ASD = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$.

б)

Чтобы найти угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$, нужно отложить их от одной точки. Воспользуемся свойством правильного шестиугольника. Пусть $O$ — центр основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий две соседние вершины, равен вектору, проведенному из центра к противолежащей вершине, т.е. $\vec{BC} = \vec{AO}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AO}$.

Угол между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AO}$ — это угол $\angle SAO$ в треугольнике $\triangle SAO$. Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$, поэтому искомый угол равен $180^{\circ} - \angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SAO$. Так как пирамида правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и отрезку $AO$. Следовательно, $\triangle SAO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

В этом треугольнике:

• $SA$ — гипотенуза, ее длина равна длине бокового ребра, $SA = 2$.

• $AO$ — катет, его длина равна радиусу описанной окружности для правильного шестиугольника, что равно стороне шестиугольника, т.е. $AO = 1$.

Найдем косинус угла $\angle SAO$:

$\cos(\angle SAO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AO}{SA} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\angle SAO = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

Угол между вектором $\vec{SA}$ (направлен от $S$ к $A$) и вектором $\vec{AO}$ (направлен от $A$ к $O$) равен $180^{\circ}$ минус угол между вектором $\vec{AS}$ (направлен от $A$ к $S$) и вектором $\vec{AO}$.

Искомый угол равен $180^{\circ} - \angle SAO = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.