Номер 20.4, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.4. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 20.6). Найдите угол между векторами:
а) $\overline{AB}$ и $\overline{SC}$;
б) $\overline{SB}$ и $\overline{SD}$.

Рис. 20.6

Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в ее основании лежит квадрат $ABCD$. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что и стороны основания, и боковые ребра равны 1. Следовательно, боковые грани пирамиды (например, $\triangle SAB$, $\triangle SBC$ и т.д.) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Для нахождения угла между векторами используется формула, основанная на скалярном произведении: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Для решения задачи введем систему координат. Поместим начало координат в точку $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$ и $C(1, 1, 0)$.

Найдем координаты вершины $S(x, y, z)$. Так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания — точку пересечения диагоналей квадрата. Координаты этой точки — $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$. Следовательно, $x_S = \frac{1}{2}$ и $y_S = \frac{1}{2}$.

Для нахождения аппликаты $z_S$ воспользуемся тем, что длина бокового ребра $|SA|$ равна 1:

$|SA|^2 = (x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2 + (z_S - z_A)^2 = 1^2$

$(\frac{1}{2} - 0)^2 + (\frac{1}{2} - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z_S^2 = 1$

$\frac{1}{2} + z_S^2 = 1 \implies z_S^2 = \frac{1}{2} \implies z_S = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (берем положительное значение, так как вершина S находится над основанием).

Таким образом, координаты вершины $S(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{SC} = (x_C - x_S, y_C - y_S, z_C - z_S) = (1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

$|\vec{SC}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{SC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$ — это угол $\angle BSD$ в треугольнике $BSD$. Найдем стороны этого треугольника.

$SB$ и $SD$ — боковые ребра пирамиды, по условию их длины равны 1. Таким образом, $|SB| = 1$ и $|SD| = 1$.

$BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$ ($\angle A = 90^\circ$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

Отсюда $BD = \sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $BSD$. Мы знаем длины всех его сторон: $SB=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$. Он является равнобедренным.

Для нахождения угла $\beta = \angle BSD$ применим теорему косинусов:

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos\beta$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\beta$

$2 = 1 + 1 - 2\cos\beta$

$2 = 2 - 2\cos\beta$

$2\cos\beta = 0 \implies \cos\beta = 0$.

Следовательно, угол $\beta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.