Номер 20.7, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.7. Для единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 20.4) найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1 C_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 20.4

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$ и направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $\overrightarrow{AB}$, ось $Oy$ вдоль $\overrightarrow{AD}$ и ось $Oz$ вдоль $\overrightarrow{AA_1}$. Так как куб единичный, то длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

а) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{B_1D_1}$.

Сначала определим координаты этих векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\overrightarrow{AC}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $C(1, 1, 0)$: $\overrightarrow{AC} = \{1-0; 1-0; 0-0\} = \{1; 1; 0\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{B_1D_1}$ с началом в $B_1(1, 0, 1)$ и концом в $D_1(0, 1, 1)$: $\overrightarrow{B_1D_1} = \{0-1; 1-0; 1-1\} = \{-1; 1; 0\}$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B_1D_1} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1 + 1 + 0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$.

Определим координаты векторов:

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B(1, 0, 0)$: $\overrightarrow{AB} = \{1-0; 0-0; 0-0\} = \{1; 0; 0\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{B_1C_1}$ с началом в $B_1(1, 0, 1)$ и концом в $C_1(1, 1, 1)$: $\overrightarrow{B_1C_1} = \{1-1; 1-0; 1-1\} = \{0; 1; 0\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{B_1C_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

в) Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{BC_1}$.

Определим координаты векторов:

Координаты вектора $\overrightarrow{AB_1}$ с началом в $A(0, 0, 0)$ и концом в $B_1(1, 0, 1)$: $\overrightarrow{AB_1} = \{1-0; 0-0; 1-0\} = \{1; 0; 1\}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{BC_1}$ с началом в $B(1, 0, 0)$ и концом в $C_1(1, 1, 1)$: $\overrightarrow{BC_1} = \{1-1; 1-0; 1-0\} = \{0; 1; 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.