Номер 20.2, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.2. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.4) найдите угол между векторами:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 20.4

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина A куба совпадает с началом координат (0, 0, 0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD, а ось Oz вдоль ребра AA₁. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a), D₁(0, a, a).

Угол $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти, используя их скалярное произведение:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) Найдем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

Сначала определим координаты этих векторов, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (a-0; a-0; 0-0) = (a, a, 0)$

$\vec{B_1D_1} = (x_{D_1} - x_{B_1}; y_{D_1} - y_{B_1}; z_{D_1} - z_{B_1}) = (0-a; a-0; a-a) = (-a, a, 0)$

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, а векторы ненулевые, они перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Найдем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Определим координаты векторов:

$\vec{AB} = (a-0; 0-0; 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{B_1C_1} = (a-a; a-0; a-a) = (0, a, 0)$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{B_1C_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0$

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.Также можно заметить, что вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен и сонаправлен вектору $\vec{AD}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это угол между смежными ребрами куба, он равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) Найдем угол между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Определим координаты векторов:

$\vec{AB_1} = (a-0; 0-0; a-0) = (a, 0, a)$

$\vec{BC_1} = (a-a; a-0; a-0) = (0, a, a)$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2$

Теперь найдем длины (модули) векторов. Оба вектора являются диагоналями граней куба.

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Вычислим косинус угла $\alpha$ между векторами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Отсюда, $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Геометрически: вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$. Значит, искомый угол равен углу между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны $AB_1$, $AD_1$ и $B_1D_1$ являются диагоналями граней куба, и их длины равны $a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle AB_1D_1$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$ это $\angle D_1AB_1$, который равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.