Номер 19.11, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.11. Повторите определение угла между векторами на плоскости.

19.11. Углом между двумя ненулевыми векторами на плоскости называется наименьший неотрицательный угол между лучами, которые задают эти векторы, если их отложить от одной и той же точки. Этот угол, обозначаемый как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ или $\alpha$, всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

Для нахождения этого угла используется понятие скалярного произведения векторов.

Определение через скалярное произведение:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Из этого определения следует формула для нахождения косинуса угла между двумя ненулевыми векторами:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Вычисление в координатах:
Если векторы на плоскости заданы своими координатами $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$, то их скалярное произведение вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$, а их длины (модули) как $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$.
Подставив эти выражения в формулу для косинуса, получим:
$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Частные случаи:
1. Если векторы сонаправлены (их направления совпадают), то угол между ними $\alpha = 0^\circ$. Тогда $\cos(\alpha) = 1$.
2. Если векторы противоположно направлены, то угол между ними $\alpha = 180^\circ$ (или $\pi$ рад). Тогда $\cos(\alpha) = -1$.
3. Если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними $\alpha = 90^\circ$ (или $\pi/2$ рад). Тогда $\cos(\alpha) = 0$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
4. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол между ними не определен.

Ответ: Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на плоскости называется угол $\alpha$ между ними, если их отложить от одной точки. Величина угла находится в пределах $0 \le \alpha \le \pi$. Косинус этого угла определяется через скалярное произведение векторов по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. В координатах $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ эта формула выглядит так: $\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.