Номер 19.7, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 19.3) укажите какие-нибудь тройки:

а) компланарных векторов;

б) некомпланарных векторов.

Рис. 19.3

а) компланарных векторов

По определению, векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости, когда их начала совмещены в одной точке. Чтобы найти тройку компланарных векторов в призме, достаточно выбрать векторы, лежащие на ребрах или диагоналях одной грани.

Рассмотрим плоскость нижнего основания `ABC`. Векторы `\vec{AB}`, `\vec{BC}` и `\vec{AC}` лежат в этой плоскости. Следовательно, они компланарны. Кроме того, для этих векторов выполняется правило сложения `\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}`, что является алгебраическим условием их компланарности (линейной зависимости).

Другой пример: векторы, лежащие в плоскости боковой грани `ABB_1A_1`, например, `\vec{AB}`, `\vec{AA_1}` и `\vec{AB_1}`. Они также компланарны, так как лежат в одной плоскости.

Ответ: Например, тройка векторов `\vec{AB}`, `\vec{BC}` и `\vec{AC}` компланарна.

б) некомпланарных векторов

Три вектора называются некомпланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они не лежат в одной плоскости. Такие векторы образуют базис в трехмерном пространстве.

Чтобы найти тройку некомпланарных векторов, как правило, выбирают три вектора, выходящие из одной вершины и направленные вдоль трех ребер, не лежащих в одной плоскости. Возьмем вершину `A` в качестве общего начала и рассмотрим векторы:

• `\vec{AB}` — вектор, идущий по ребру нижнего основания.
• `\vec{AC}` — вектор, идущий по другому ребру нижнего основания.
• `\vec{AA_1}` — вектор, идущий по боковому ребру.

Векторы `\vec{AB}` и `\vec{AC}` лежат в плоскости `(ABC)`. Вектор `\vec{AA_1}` не лежит в этой плоскости и не параллелен ей, так как он соединяет нижнее и верхнее основания призмы. Таким образом, не существует плоскости, в которой лежали бы все три этих вектора. Следовательно, они некомпланарны.

Ответ: Например, тройка векторов `\vec{AB}`, `\vec{AC}` и `\vec{AA_1}` некомпланарна.