Номер 19.3, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 19.4) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB_1}$.

Рис. 19.4

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Чтобы найти все векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB_1}$, мы должны найти все векторы $\vec{XY}$ (где $X$ и $Y$ — вершины призмы), для которых выполняется соотношение $\vec{XY} = k \cdot \vec{AB_1}$ при некотором ненулевом скаляре $k$.

Вектор $\vec{AB_1}$ можно разложить на две ортогональные компоненты: вектор $\vec{AB}$, лежащий в плоскости основания, и вектор $\vec{BB_1}$, являющийся боковым ребром призмы. Таким образом, $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Любой вектор $\vec{XY}$ между вершинами призмы также можно представить в виде суммы его проекции на плоскость основания, $\vec{X'Y'}$, и вертикальной составляющей, $m \cdot \vec{BB_1}$. Поскольку $X$ и $Y$ — вершины призмы, коэффициент $m$ может принимать только значения $1$ (вектор направлен от нижнего основания к верхнему), $-1$ (от верхнего к нижнему) или $0$ (вектор лежит в плоскости одного из оснований).

Условие коллинеарности $\vec{XY} = k \cdot \vec{AB_1}$ принимает вид:$\vec{X'Y'} + m \cdot \vec{BB_1} = k (\vec{AB} + \vec{BB_1}) = k \cdot \vec{AB} + k \cdot \vec{BB_1}$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ линейно независимы (неколлинеарны), данное равенство возможно только при условии равенства соответствующих компонент:1. $\vec{X'Y'} = k \cdot \vec{AB}$2. $m \cdot \vec{BB_1} = k \cdot \vec{BB_1}$, откуда следует $m=k$.

Следовательно, нам нужно рассмотреть возможные значения для $m$ (и, соответственно, для $k$).

1. Векторы, сонаправленные с $\vec{AB_1}$В этом случае $k > 0$. Так как $m=k$, а $m$ может быть только $1$, то $k=1$. Нам нужно найти векторы $\vec{XY}$, идущие от нижнего основания к верхнему ($m=1$), проекция которых на основание равна $\vec{AB}$ (т.е. $\vec{X'Y'} = \vec{AB}$). В основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ вектору $\vec{AB}$ равен также вектор $\vec{ED}$.Это дает нам два вектора:

• $\vec{AB_1}$ (проекция $\vec{AB}$, начало в $A$, конец в $B_1$).
• $\vec{ED_1}$ (проекция $\vec{ED}$, начало в $E$, конец в $D_1$).

2. Векторы, противоположно направленные $\vec{AB_1}$В этом случае $k < 0$. Так как $m=k$, а $m$ может быть только $-1$, то $k=-1$. Нам нужно найти векторы $\vec{XY}$, идущие от верхнего основания к нижнему ($m=-1$), проекция которых на основание равна $-\vec{AB}$, то есть $\vec{BA}$. В основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ вектору $\vec{BA}$ равен также вектор $\vec{DE}$.Это дает нам еще два вектора:

• $\vec{B_1A}$ (проекция $\vec{BA}$, начало в $B_1$, конец в $A$).
• $\vec{D_1E}$ (проекция $\vec{DE}$, начало в $D_1$, конец в $E$).

Случай $k=m=0$ соответствует нулевому вектору, который не соединяет различные вершины. Другие векторы в основании, параллельные $\vec{AB}$ (например, $\vec{FC} = 2\vec{AB}$), потребовали бы $k=\pm 2$, что невозможно, так как $m$ не может принимать такие значения.

Ответ: $\vec{AB_1}$, $\vec{ED_1}$, $\vec{B_1A}$, $\vec{D_1E}$.