Страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ (рис. 19.2).

Рис. 19.2

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Мы можем представить искомый вектор как сумму векторов, составляющих ломаную линию, которая соединяет начальную точку B и конечную точку D₁.

Рассмотрим путь из точки B в точку D₁ через вершины A и D. Такой путь можно представить в виде суммы векторов $\vec{BA}$, $\vec{AD}$ и $\vec{DD_1}$. По правилу сложения векторов имеем:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в этой сумме через заданные в условии векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, так как он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

2. Вектор $\vec{AD}$ уже является одним из базисных векторов, данных в условии задачи.

3. Фигура ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом, поэтому все ее боковые ребра параллельны и равны по длине. В частности, ребро DD₁ параллельно ребру AA₁ и сонаправлено с ним. Значит, векторы, лежащие на этих ребрах, равны: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{BA}$ и $\vec{DD_1}$ в исходную формулу:

$\vec{BD_1} = (-\vec{AB}) + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Таким образом, искомое разложение вектора $\vec{BD_1}$ по базисным векторам имеет вид:

$\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{BD_1} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Вопросы

1. Какие два вектора в пространстве называются коллинеарными?

2. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

1. Какие два вектора в пространстве называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора в пространстве называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору. С математической точки зрения, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Если $k > 0$, векторы называются сонаправленными, а если $k < 0$ — противоположно направленными. Ответ:

2. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости. Это означает, что если отложить эти векторы от одной общей точки, то все они будут лежать в одной плоскости. Важным свойством компланарных векторов является их линейная зависимость: векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то вектор $\vec{c}$ будет компланарен им, если найдутся такие числа $x$ и $y$, что $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Если среди трех векторов есть нулевой вектор или два из них коллинеарны, то эти три вектора всегда компланарны. Ответ:

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Теорема: Любой вектор в пространстве может быть разложен по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.
Это означает, что если $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — три некомпланарных вектора (то есть не лежащие в одной плоскости), то для любого вектора $\vec{p}$ существует единственная тройка чисел $x, y, z$, такая, что выполняется равенство:
$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$
Числа $x, y, z$ называются коэффициентами разложения или координатами вектора $\vec{p}$ в базисе $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$. Ответ:

19.1. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 19.2) укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, коллинеарные вектору $\vec{AB}$.

Рис. 19.2

19.1. Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В данной задаче требуется найти все векторы, имеющие начало и конец в вершинах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и коллинеарные вектору $\vec{AB}$.
Вектор $\vec{AB}$ направлен вдоль ребра $AB$. Чтобы найти коллинеарные ему векторы, нужно рассмотреть все ребра куба, параллельные ребру $AB$, а также сам отрезок $AB$.
1. На ребре $AB$ можно построить вектор $\vec{BA}$, который лежит на той же прямой, что и $\vec{AB}$, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{BA}$ коллинеарен $\vec{AB}$.
2. В нижней грани $ABCD$ ребру $AB$ параллельно ребро $DC$. На этом ребре можно построить два вектора: $\vec{DC}$ и $\vec{CD}$. Оба они коллинеарны $\vec{AB}$.
3. В верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ребру $A_1B_1$ параллельно ребро $AB$. На ребре $A_1B_1$ можно построить векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{B_1A_1}$. Оба они коллинеарны $\vec{AB}$.
4. В верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ребро $D_1C_1$ параллельно ребру $A_1B_1$, а значит, оно параллельно и ребру $AB$. На ребре $D_1C_1$ можно построить векторы $\vec{D_1C_1}$ и $\vec{C_1D_1}$. Оба они коллинеарны $\vec{AB}$.
Таким образом, мы нашли 7 векторов (помимо самого $\vec{AB}$), которые коллинеарны данному вектору.
Сонаправленные с $\vec{AB}$: $\vec{DC}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{D_1C_1}$.
Противоположно направленные $\vec{AB}$: $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{C_1D_1}$.
Ответ: $\vec{BA}$, $\vec{DC}$, $\vec{CD}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{D_1C_1}$, $\vec{C_1D_1}$.

19.2. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 19.3) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AA_1}$.

Рис. 19.3

По определению, два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В задаче дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. В любой призме боковые ребра параллельны и равны между собой. В данном случае это означает, что ребра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны.

Следовательно, все векторы, которые лежат на прямых, содержащих эти ребра, будут коллинеарны вектору $\overrightarrow{AA_1}$. Нам нужно перечислить все такие векторы, у которых начало и конец находятся в вершинах призмы.

Такие векторы можно разделить на две группы:

1. Векторы, сонаправленные с вектором $\overrightarrow{AA_1}$. Они направлены от нижнего основания $ABC$ к верхнему $A_1B_1C_1$. Это сам вектор $\overrightarrow{AA_1}$, а также векторы $\overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{CC_1}$, так как $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$ и их направления совпадают.

2. Векторы, противоположно направленные вектору $\overrightarrow{AA_1}$. Они направлены от верхнего основания $A_1B_1C_1$ к нижнему $ABC$. Это векторы $\overrightarrow{A_1A}$, $\overrightarrow{B_1B}$ и $\overrightarrow{C_1C}$.

Таким образом, мы нашли все векторы с началом и концом в вершинах призмы, которые коллинеарны вектору $\overrightarrow{AA_1}$.

Ответ: $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$, $\overrightarrow{A_1A}$, $\overrightarrow{B_1B}$, $\overrightarrow{C_1C}$.

19.3. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 19.4) укажите векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB_1}$.

Рис. 19.4

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Чтобы найти все векторы с началом и концом в вершинах призмы, коллинеарные вектору $\vec{AB_1}$, мы должны найти все векторы $\vec{XY}$ (где $X$ и $Y$ — вершины призмы), для которых выполняется соотношение $\vec{XY} = k \cdot \vec{AB_1}$ при некотором ненулевом скаляре $k$.

Вектор $\vec{AB_1}$ можно разложить на две ортогональные компоненты: вектор $\vec{AB}$, лежащий в плоскости основания, и вектор $\vec{BB_1}$, являющийся боковым ребром призмы. Таким образом, $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$.

Любой вектор $\vec{XY}$ между вершинами призмы также можно представить в виде суммы его проекции на плоскость основания, $\vec{X'Y'}$, и вертикальной составляющей, $m \cdot \vec{BB_1}$. Поскольку $X$ и $Y$ — вершины призмы, коэффициент $m$ может принимать только значения $1$ (вектор направлен от нижнего основания к верхнему), $-1$ (от верхнего к нижнему) или $0$ (вектор лежит в плоскости одного из оснований).

Условие коллинеарности $\vec{XY} = k \cdot \vec{AB_1}$ принимает вид:$\vec{X'Y'} + m \cdot \vec{BB_1} = k (\vec{AB} + \vec{BB_1}) = k \cdot \vec{AB} + k \cdot \vec{BB_1}$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$ линейно независимы (неколлинеарны), данное равенство возможно только при условии равенства соответствующих компонент:1. $\vec{X'Y'} = k \cdot \vec{AB}$2. $m \cdot \vec{BB_1} = k \cdot \vec{BB_1}$, откуда следует $m=k$.

Следовательно, нам нужно рассмотреть возможные значения для $m$ (и, соответственно, для $k$).

1. Векторы, сонаправленные с $\vec{AB_1}$В этом случае $k > 0$. Так как $m=k$, а $m$ может быть только $1$, то $k=1$. Нам нужно найти векторы $\vec{XY}$, идущие от нижнего основания к верхнему ($m=1$), проекция которых на основание равна $\vec{AB}$ (т.е. $\vec{X'Y'} = \vec{AB}$). В основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ вектору $\vec{AB}$ равен также вектор $\vec{ED}$.Это дает нам два вектора:

• $\vec{AB_1}$ (проекция $\vec{AB}$, начало в $A$, конец в $B_1$).
• $\vec{ED_1}$ (проекция $\vec{ED}$, начало в $E$, конец в $D_1$).

2. Векторы, противоположно направленные $\vec{AB_1}$В этом случае $k < 0$. Так как $m=k$, а $m$ может быть только $-1$, то $k=-1$. Нам нужно найти векторы $\vec{XY}$, идущие от верхнего основания к нижнему ($m=-1$), проекция которых на основание равна $-\vec{AB}$, то есть $\vec{BA}$. В основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ вектору $\vec{BA}$ равен также вектор $\vec{DE}$.Это дает нам еще два вектора:

• $\vec{B_1A}$ (проекция $\vec{BA}$, начало в $B_1$, конец в $A$).
• $\vec{D_1E}$ (проекция $\vec{DE}$, начало в $D_1$, конец в $E$).

Случай $k=m=0$ соответствует нулевому вектору, который не соединяет различные вершины. Другие векторы в основании, параллельные $\vec{AB}$ (например, $\vec{FC} = 2\vec{AB}$), потребовали бы $k=\pm 2$, что невозможно, так как $m$ не может принимать такие значения.

Ответ: $\vec{AB_1}$, $\vec{ED_1}$, $\vec{B_1A}$, $\vec{D_1E}$.