Вопросы, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие два вектора в пространстве называются коллинеарными?

2. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

1. Какие два вектора в пространстве называются коллинеарными?

Два ненулевых вектора в пространстве называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору. С математической точки зрения, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$, для которого выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Если $k > 0$, векторы называются сонаправленными, а если $k < 0$ — противоположно направленными. Ответ:

2. Какие три вектора в пространстве называются компланарными?

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости. Это означает, что если отложить эти векторы от одной общей точки, то все они будут лежать в одной плоскости. Важным свойством компланарных векторов является их линейная зависимость: векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то вектор $\vec{c}$ будет компланарен им, если найдутся такие числа $x$ и $y$, что $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Если среди трех векторов есть нулевой вектор или два из них коллинеарны, то эти три вектора всегда компланарны. Ответ:

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Теорема: Любой вектор в пространстве может быть разложен по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.
Это означает, что если $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — три некомпланарных вектора (то есть не лежащие в одной плоскости), то для любого вектора $\vec{p}$ существует единственная тройка чисел $x, y, z$, такая, что выполняется равенство:
$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$
Числа $x, y, z$ называются коэффициентами разложения или координатами вектора $\vec{p}$ в базисе $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$. Ответ: