Номер 19.4, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.4. Векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$, $\bar{b}$ и $\bar{c}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы $\bar{a}$ и $\bar{c}$?

Да, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ будут коллинеарны. Это утверждение следует из определения коллинеарных векторов и свойства транзитивности. Приведем развернутое доказательство.

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Математически это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое действительное число (скаляр). То есть, для коллинеарных векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ существует такое число $k$, что $\vec{u} = k \vec{v}$. Важно отметить, что нулевой вектор $\vec{0}$ по определению коллинеарен любому вектору.

Рассмотрим данное в условии.

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Следовательно, существует такое число $k_1$, что: $\vec{a} = k_1 \vec{b}$.

2. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Следовательно, существует такое число $k_2$, что: $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Теперь наша задача — установить, существует ли подобная связь между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Для этого подставим выражение для вектора $\vec{b}$ из второго равенства в первое: $\vec{a} = k_1 \vec{b} = k_1 (k_2 \vec{c})$.

Раскрыв скобки, мы получим: $\vec{a} = (k_1 k_2) \vec{c}$.

Произведение двух чисел $k_1$ и $k_2$ также является числом. Обозначим это новое число как $k = k_1 k_2$. Тогда мы получаем равенство: $\vec{a} = k \vec{c}$.

Это равенство в точности соответствует определению коллинеарности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$. Таким образом, мы доказали, что они коллинеарны.

Данное рассуждение справедливо и для особых случаев. Например, если вектор $\vec{b}$ является нулевым ($\vec{b} = \vec{0}$), то из коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ следует, что $\vec{a} = k_1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$. А нулевой вектор $\vec{a}$ коллинеарен любому вектору $\vec{c}$. Таким образом, и в этом случае утверждение верно.

Ответ: Да, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны.