Номер 19.6, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.6. В параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 19.5) укажите какие-нибудь тройки:

а) компланарных векторов;

б) некомпланарных векторов.

Рис. 19.5

Векторы в пространстве называются компланарными, если существует плоскость, которой они все параллельны. В противном случае они называются некомпланарными.

а) компланарных векторов

Чтобы найти тройку компланарных векторов, достаточно выбрать три вектора, лежащие в одной плоскости. Например, можно взять векторы, соответствующие сторонам и диагонали одной из граней параллелепипеда.

Рассмотрим грань нижнего основания $ABCD$. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ лежат в плоскости этой грани. Их сумма, по правилу параллелограмма, равна вектору диагонали $\overrightarrow{AC}$, который также лежит в этой плоскости: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.

Таким образом, векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AC}$ лежат в одной плоскости $(ABC)$, а значит, они компланарны.

Другой пример: векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{B_1C_1}$ и $\overrightarrow{A_1C_1}$, лежащие в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: например, тройка векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}$.

б) некомпланарных векторов

Чтобы найти тройку некомпланарных векторов, нужно выбрать три вектора, которые нельзя расположить в одной плоскости. В параллелепипеде классическим примером такой тройки являются векторы, выходящие из одной вершины и направленные вдоль трех ребер, не лежащих в одной плоскости.

Рассмотрим вершину $A$. Из нее выходят три ребра: $AB$, $AD$ и $AA_1$. Соответствующие им векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$ не являются компланарными.

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ задают плоскость основания $ABCD$. Вектор $\overrightarrow{AA_1}$ направлен вдоль бокового ребра и не параллелен этой плоскости. Следовательно, не существует плоскости, которой были бы параллельны все три вектора одновременно.

Ответ: например, тройка векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA_1}$.