Номер 19.8, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 19.2) выразите через векторы $\overline{AB}$, $\overline{AD}$ и $\overline{AA_1}$ вектор:

а) $\overline{AC_1}$;

б) $\overline{BD_1}$.

Рис. 19.2

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов в пространстве. В качестве базисных векторов выбраны векторы, исходящие из вершины A: $\overline{AB}$, $\overline{AD}$ и $\overline{AA_1}$.

а)

Чтобы выразить вектор $\overline{AC_1}$, который является главной диагональю куба, представим его как сумму векторов, следующих по ребрам куба из точки A в точку $C_1$. Один из возможных путей A → B → C → $C_1$.

По правилу многоугольника для сложения векторов имеем:

$\overline{AC_1} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CC_1}$

Теперь выразим векторы $\overline{BC}$ и $\overline{CC_1}$ через базисные векторы:

1. Вектор $\overline{BC}$ равен вектору $\overline{AD}$, так как грань $ABCD$ является квадратом, и стороны $BC$ и $AD$ параллельны, равны по длине и сонаправлены. Таким образом, $\overline{BC} = \overline{AD}$.

2. Вектор $\overline{CC_1}$ равен вектору $\overline{AA_1}$, так как ребра $CC_1$ и $AA_1$ параллельны, равны по длине и сонаправлены. Таким образом, $\overline{CC_1} = \overline{AA_1}$.

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$\overline{AC_1} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$

Это выражение соответствует правилу параллелепипеда для диагонали.

Ответ: $\overline{AC_1} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$

б)

Чтобы выразить вектор $\overline{BD_1}$, который также является главной диагональю куба, представим его как сумму векторов по пути из точки B в точку $D_1$. Один из возможных путей B → A → D → $D_1$.

По правилу многоугольника для сложения векторов имеем:

$\overline{BD_1} = \overline{BA} + \overline{AD} + \overline{DD_1}$

Теперь выразим векторы в правой части через заданные базисные векторы $\overline{AB}$, $\overline{AD}$ и $\overline{AA_1}$:

1. Вектор $\overline{BA}$ является противоположным вектору $\overline{AB}$, следовательно, $\overline{BA} = -\overline{AB}$.

2. Вектор $\overline{AD}$ уже является одним из базисных векторов.

3. Вектор $\overline{DD_1}$ равен вектору $\overline{AA_1}$, так как ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны, равны по длине и сонаправлены. Таким образом, $\overline{DD_1} = \overline{AA_1}$.

Подставив полученные выражения, получим:

$\overline{BD_1} = -\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$

Ответ: $\overline{BD_1} = -\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$