Номер 19.5, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.5. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{AD_1}$ и $\overrightarrow{BC_1}$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 19.4)?

Рис. 19.4

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это эквивалентно тому, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр) $k$. То есть, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

Рассмотрим заданную правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Нам нужно определить, коллинеарны ли векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Разложим оба вектора на составляющие. Удобно разложить их на вектор, лежащий в плоскости основания, и вектор, параллельный боковому ребру.

По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), имеем:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Поскольку призма является правильной, все ее боковые ребра равны и параллельны. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1} = \vec{FF_1}$. Обозначим этот вектор как $\vec{h}$.

Тогда наши выражения принимают вид:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{h}$

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{h}$

Теперь рассмотрим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, лежащие в плоскости основания. Основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике большая диагональ (например, $AD$) параллельна стороне, не имеющей с ней общих вершин (например, $BC$), и в два раза длиннее ее. Направление векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ совпадает. Таким образом, мы можем записать векторное равенство:

$\vec{AD} = 2\vec{BC}$

Подставим это соотношение в выражение для вектора $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = 2\vec{BC} + \vec{h}$

Теперь проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{AD_1} = k \cdot \vec{BC_1}$.

$2\vec{BC} + \vec{h} = k \cdot (\vec{BC} + \vec{h})$

$2\vec{BC} + \vec{h} = k\vec{BC} + k\vec{h}$

Перенесем все члены в одну сторону:

$(2\vec{BC} - k\vec{BC}) + (\vec{h} - k\vec{h}) = \vec{0}$

$(2-k)\vec{BC} + (1-k)\vec{h} = \vec{0}$

Вектор $\vec{BC}$ лежит в плоскости основания призмы. Вектор $\vec{h}$ (например, $\vec{CC_1}$) соответствует боковому ребру. Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{h}$ не коллинеарны (они ортогональны). Линейная комбинация двух неколлинеарных векторов равна нулевому вектору только в том случае, если коэффициенты перед этими векторами равны нулю.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2-k = 0 \\ 1-k = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $k=2$. Из второго уравнения следует, что $k=1$.

Мы получили противоречие: $2=1$. Это означает, что не существует такого числа $k$, при котором выполнялось бы равенство $\vec{AD_1} = k \cdot \vec{BC_1}$. Следовательно, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ не являются коллинеарными.

Ответ: Нет, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ не коллинеарны.