Номер 19.12, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19.12. По аналогии с определением угла между векторами на плоскости определите понятие угла между векторами в пространстве.

По аналогии с определением угла между векторами на плоскости, понятие угла между векторами в пространстве вводится следующим образом.

1. Геометрическое определение
Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в пространстве. Отложим от произвольной точки пространства $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
Углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется угол $\angle AOB$ между лучами $OA$ и $OB$.
Важно заметить, что три точки $O, A, B$ всегда лежат в одной плоскости (если векторы не коллинеарны, они однозначно задают эту плоскость). Таким образом, угол между векторами в пространстве — это плоский угол, измеряемый в той плоскости, в которой лежат эти векторы (отложенные от одной точки).
По определению, величина угла между векторами, обозначим ее $\alpha$, находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). То есть, $0 \le \alpha \le \pi$.

2. Частные случаи
- Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (их направления совпадают), то угол между ними равен $0^\circ$.
- Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то угол между ними равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).
- Если хотя бы один из векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$ является нулевым, то угол между ними не определён.

3. Аналитическое определение (через скалярное произведение)
Эта часть определения также полностью аналогична случаю на плоскости. Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение их длин (модулей).
Формула для косинуса угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Если векторы заданы в прямоугольной системе координат $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то формула для вычисления угла приобретает вид:
$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
Так как функция $y = \cos(x)$ монотонна на отрезке $[0, \pi]$, данная формула однозначно определяет угол $\alpha$ между векторами.

Ответ: Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в пространстве называется угол $\alpha$ между равными им векторами, отложенными от одной точки. Этот угол удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \pi$ и может быть найден из соотношения, связывающего его косинус со скалярным произведением векторов: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определен.