Номер 18.14, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной A, а оси Ox, Oy, Oz направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба будут следующими:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0)

A₁(0, 0, 1), B₁(1, 0, 1), C₁(1, 1, 1), D₁(0, 1, 1)

Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

а) Найдем длину вектора $\vec{AB} - \vec{AA_1}$.

Сначала найдем координаты векторов, входящих в выражение:

$\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$

$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$

Теперь найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AB} - \vec{AA_1} = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AB} - \vec{AA_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Геометрически, разность векторов $\vec{AB} - \vec{AA_1}$ соответствует вектору $\vec{A_1B}$, который является диагональю грани $AA_1B_1B$. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем длину вектора $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$

$\vec{DD_1} = (0-0, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$

Найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AC} - \vec{DD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Геометрически, в кубе вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$. Тогда разность $\vec{AC} - \vec{DD_1}$ равна $\vec{AC} - \vec{AA_1}$, что соответствует вектору $\vec{A_1C}$. Этот вектор является пространственной диагональю куба, и его длина равна $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Найдем длину вектора $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

$\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

Найдем координаты результирующего вектора:

$\vec{AB_1} - \vec{BC_1} = (1, 0, 1) - (0, 1, 1) = (1, -1, 0)$.

Вычислим его длину:

$|\vec{AB_1} - \vec{BC_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Геометрически, вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$. Тогда разность $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$ равна $\vec{AB_1} - \vec{AD_1}$, что соответствует вектору $\vec{D_1B_1}$. Вектор $\vec{D_1B_1}$ равен вектору $\vec{DB}$, который является диагональю основания $ABCD$. Его длина равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Найдем длину вектора $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (1, 0, 0)$, следовательно $2\vec{AB} = 2 \cdot (1, 0, 0) = (2, 0, 0)$.

$\vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Найдем координаты результирующего вектора:

$2\vec{AB} + \vec{BD_1} = (2, 0, 0) + (-1, 1, 1) = (1, 1, 1)$.

Вычислим его длину:

$|2\vec{AB} + \vec{BD_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Геометрически, по правилу сложения векторов $\vec{AB} + \vec{BD_1} = \vec{AD_1}$. Тогда искомый вектор можно представить как $\vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{BD_1}) = \vec{AB} + \vec{AD_1}$. Сумма векторов, выходящих из одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В нашем случае это вектор $\vec{AC_1}$ (поскольку $\vec{AD_1} = \vec{BC_1}$ и $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$), который является пространственной диагональю куба. Его длина равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.