Номер 18.13, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.13. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 18.11) укажите вектор:

а) $\vec{AB} - \vec{AA_1}$;

б) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$;

в) $\vec{AB_1} - \vec{BC_1}$;

г) $2\vec{AB} + \vec{BD_1}$.

Рис. 18.11

а) Для нахождения разности векторов $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1}$ воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$. Поскольку оба вектора, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AA_1}$, начинаются в точке A, их разность будет вектором, соединяющим их концы и направленным от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого. Таким образом, получаем:
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1B}$.
Ответ: $\overrightarrow{A_1B}$.

б) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Следовательно, вектор $\overrightarrow{DD_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AA_1}$, так как ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны и равны.
Заменим в выражении вектор $\overrightarrow{DD_1}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{AA_1}$:
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}$.
Теперь мы имеем разность двух векторов, исходящих из одной точки A. По правилу вычитания векторов получаем:
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1C}$.
Ответ: $\overrightarrow{A_1C}$.

в) Чтобы упростить выражение $\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1}$, найдем вектор, равный вектору $\overrightarrow{BC_1}$. Вектор $\overrightarrow{BC_1}$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Равный ему вектор $\overrightarrow{AD_1}$ является диагональю параллельной грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1}$, а значит $\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1}$.
Подставим $\overrightarrow{AD_1}$ вместо $\overrightarrow{BC_1}$:
$\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{AD_1}$.
Применяя правило вычитания векторов, исходящих из одной точки A, получаем:
$\overrightarrow{AB_1} - \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{D_1B_1}$.
Вектор $\overrightarrow{D_1B_1}$ равен вектору $\overrightarrow{DB}$, так как они являются соответствующими диагоналями параллельных оснований $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$.
Ответ: $\overrightarrow{DB}$.

г) Рассмотрим выражение $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$. Представим $2\overrightarrow{AB}$ как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}$.
Выражение примет вид: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}$.
Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим правило треугольника для сложения векторов:
$\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD_1}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD_1}$.
Теперь нам нужно сложить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD_1}$. Заменим вектор $\overrightarrow{AB}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{D_1C_1}$ (так как $ABD_1C_1$ - параллелограмм):
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{AD_1}$.
Поменяем слагаемые местами для удобства: $\overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1C_1}$.
По правилу треугольника, сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго:
$\overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$.