Номер 18.7, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.7. Сколько различных векторов задают ребра:
а) куба;
б) треугольной призмы;
в) правильной четырехугольной пирамиды (рис. 18.10)?

Рис. 18.10

Различные векторы — это векторы, которые не совпадают по направлению и/или длине (модулю). Каждое ребро, соединяющее вершины A и B, определяет два различных, противоположно направленных вектора: $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Если в многограннике есть несколько параллельных ребер одинаковой длины, то они могут задавать одни и те же векторы. Посчитаем количество таких уникальных векторов для каждой фигуры.

а) куба

У куба 12 ребер. Все ребра куба равны по длине. Их можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой (ребра, параллельные трем взаимно перпендикулярным осям). Каждая такая группа из четырех ребер задает два взаимно противоположных вектора. Например, ребра, параллельные оси Ox, задают векторы, направленные вдоль оси и против нее. Таким образом, общее количество различных векторов равно произведению количества групп на 2.

Количество групп параллельных ребер: 3.

Количество различных векторов для каждой группы: 2.

Общее число различных векторов: $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

б) треугольной призмы

У треугольной призмы 9 ребер. Эти ребра можно разделить на 4 группы параллельных и равных по длине ребер:

1. Одна группа из трех боковых ребер. Они все параллельны и равны между собой. Эта группа задает 2 различных вектора (например, направленный вверх и направленный вниз).

2. Три группы, каждая из которых состоит из двух ребер — по одному из каждого основания. Например, ребро $AB$ нижнего основания и параллельное ему ребро $A'B'$ верхнего основания образуют одну группу. Каждая из этих трех парных групп задает 2 различных вектора.

Итого получаем 1 группу из трех ребер и 3 группы из двух ребер. Всего 4 группы параллельных ребер одинаковой длины. Каждая группа определяет 2 противоположных вектора.

Общее число различных векторов: $4 \times 2 = 8$.

Ответ: 8.

в) правильной четырехугольной пирамиды

У правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой является квадрат $ABCD$ и вершина $S$, всего 8 ребер.

1. Ребра основания (4 ребра). Поскольку основание — квадрат, его противоположные стороны параллельны и равны: $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.

- Пара параллельных ребер $AB$ и $DC$ задает 2 различных вектора: $\vec{AB}$ (который равен $\vec{DC}$) и $\vec{BA}$ (который равен $\vec{CD}$).

- Пара параллельных ребер $AD$ и $BC$ задает еще 2 различных вектора: $\vec{AD}$ (который равен $\vec{BC}$) и $\vec{DA}$ (который равен $\vec{CB}$).

Всего ребра основания задают $2 + 2 = 4$ различных вектора.

2. Боковые ребра (4 ребра): $SA, SB, SC, SD$. В правильной пирамиде все боковые ребра равны по длине, но никакие два из них не параллельны. Следовательно, каждое боковое ребро определяет свою уникальную пару из двух противоположно направленных векторов.

- Ребро $SA$ задает векторы $\vec{SA}$ и $\vec{AS}$.

- Ребро $SB$ задает векторы $\vec{SB}$ и $\vec{BS}$.

- Ребро $SC$ задает векторы $\vec{SC}$ и $\vec{CS}$.

- Ребро $SD$ задает векторы $\vec{SD}$ и $\vec{DS}$.

Эти 8 векторов все различны. Всего боковые ребра задают $4 \times 2 = 8$ различных векторов.

Общее число различных векторов равно сумме векторов от основания и боковых ребер: $4 + 8 = 12$.

Ответ: 12.