Номер 18.12, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.12. В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

18.13. В параллелопипеде ABCD, B, C, D

Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ является случаем, когда в неравенстве треугольника для векторов ($|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$) достигается знак равенства. Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых векторов тогда и только тогда, когда все векторы-слагаемые сонаправлены. Это означает, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в одну сторону.

Рассмотрим это утверждение подробнее.

Геометрическое объяснение

При сложении векторов по правилу "треугольника" (или "цепочки" для нескольких векторов), мы последовательно откладываем один вектор от конца другого. В общем случае, если векторы не коллинеарны, они образуют ломаную линию, а вектор суммы замыкает ее, образуя треугольник (или многоугольник). Длина вектора-суммы будет равна длине отрезка, соединяющего начало первого и конец последнего вектора. По свойству ломаной, ее длина (сумма длин векторов) больше длины замыкающего отрезка (длины вектора-суммы).

Равенство длин достигается только тогда, когда эта ломаная "выпрямляется" в один отрезок. Это происходит, когда все векторы лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае, откладывая векторы один за другим, мы просто движемся вдоль прямой в одном направлении, и общая пройденная длина (длина вектора-суммы) будет равна сумме длин отдельных отрезков (длин векторов-слагаемых).

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Поскольку обе части неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не нарушая эквивалентности:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Используем свойство скалярного произведения: квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Преобразуем левую часть: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Преобразуем правую часть по формуле квадрата суммы: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Приравняем полученные выражения: $|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростив, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$.

По определению, скалярное произведение векторов равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставим это в наше равенство: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = |\vec{a}||\vec{b}|$.

Если оба вектора ненулевые (то есть их длины не равны нулю), мы можем сократить $|\vec{a}||\vec{b}|$: $\cos\theta = 1$.

Это равенство истинно, когда угол $\theta = 0°$. Нулевой угол между векторами означает, что они сонаправлены.

Если же хотя бы один из векторов является нулевым (например, $\vec{a} = \vec{0}$), то исходное равенство также выполняется: $|\vec{0} + \vec{b}| = |\vec{b}|$ и $|\vec{0}| + |\vec{b}| = 0 + |\vec{b}| = |\vec{b}|$. Нулевой вектор по определению считается сонаправленным с любым другим вектором.

Этот вывод можно обобщить на любое количество слагаемых.

Ответ: Длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых тогда и только тогда, когда все векторы-слагаемые сонаправлены (то есть коллинеарны и имеют одинаковое направление). Это также включает случай, когда один или несколько векторов являются нулевыми.