Номер 18.6, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, укажите векторы с началом и концом в вершинах куба, равные вектору:

а) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

б) $\vec{AB} + \vec{AD}$;

в) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

г) $\vec{AB} + \vec{CD_1}$;

д) $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

а) Чтобы найти сумму векторов $ \vec{AB} + \vec{CC_1} $, воспользуемся свойством равенства векторов в кубе. Векторы, соответствующие параллельным и сонаправленным ребрам, равны. Ребро $CC_1$ параллельно и сонаправлено ребру $BB_1$, следовательно, $ \vec{CC_1} = \vec{BB_1} $. Заменим вектор в исходном выражении: $ \vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} $. По правилу сложения векторов (правило треугольника), если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. Таким образом, $ \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1} $.
Ответ: $ \vec{AB_1} $

б) Векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $ имеют общее начало в вершине $A$. Для их сложения применим правило параллелограмма. Сумма двух векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах и исходящей из той же точки. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Параллелограмм, построенный на векторах $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $, — это и есть квадрат $ABCD$. Его диагональ, исходящая из вершины $A$, — это $AC$. Следовательно, $ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $.
Ответ: $ \vec{AC} $

в) Для нахождения суммы $ \vec{AB} + \vec{AD_1} $ разложим вектор $ \vec{AD_1} $. Вектор $ \vec{AD_1} $ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По правилу параллелограмма, $ \vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} $. Подставим это разложение в исходное выражение: $ \vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA_1}) $. Используя сочетательный закон сложения, получим: $ (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1} $. Как мы нашли в пункте б), $ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $. Тогда выражение примет вид: $ \vec{AC} + \vec{AA_1} $. Вектор $ \vec{AA_1} $ равен вектору $ \vec{CC_1} $. Заменяя, получаем $ \vec{AC} + \vec{CC_1} $. По правилу треугольника, эта сумма равна $ \vec{AC_1} $.
Ответ: $ \vec{AC_1} $

г) Чтобы сложить векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD_1} $, необходимо привести их к общему началу или использовать правило треугольника. Для этого найдем вектор, равный $ \vec{CD_1} $, но начинающийся в другой вершине. Вектор $ \vec{CD_1} $ — это диагональ грани $CDD_1C_1$. Грань $BAA_1B_1$ параллельна грани $CDD_1C_1$. Вектор $ \vec{BA_1} $ является соответствующей диагональю грани $BAA_1B_1$, поэтому $ \vec{CD_1} = \vec{BA_1} $. Теперь сумма принимает вид: $ \vec{AB} + \vec{BA_1} $. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $ \vec{AA_1} $.
Ответ: $ \vec{AA_1} $

д) Сумма $ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} $ — это сумма трех векторов, выходящих из одной вершины $A$ и направленных вдоль трех ребер куба. Для нахождения такой суммы используется правило параллелепипеда: сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, и исходящей из той же точки. В данном случае параллелепипед — это куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Главная диагональ, исходящая из вершины $A$, соединяет ее с противоположной вершиной $C_1$. Таким образом, $ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1} $.
Ответ: $ \vec{AC_1} $