Номер 20.9, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 20.6). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $ \vec{AB} $ и $ \vec{SC} $;

б) $ \vec{SB} $ и $ \vec{SD} $.

Рис. 20.6

а) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ воспользуемся методом разложения векторов. Разложим вектор $\vec{AB}$ по правилу треугольника через векторы, исходящие из вершины $S$: $\vec{AB} = \vec{SB} - \vec{SA}$.

Тогда искомое скалярное произведение можно записать как:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = (\vec{SB} - \vec{SA}) \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC}$.

Теперь найдем каждое скалярное произведение по отдельности, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$.

1. Найдем $\vec{SB} \cdot \vec{SC}$.
По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, боковая грань $SBC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$ равен углу $\angle BSC$ в этом треугольнике, то есть $\angle BSC = 60^\circ$.
Длины векторов (модули) равны длине ребра: $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SC}| = 1$.
$\vec{SB} \cdot \vec{SC} = |\vec{SB}| |\vec{SC}| \cos(\angle BSC) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем $\vec{SA} \cdot \vec{SC}$.
Рассмотрим треугольник $SAC$. Его стороны $SA$ и $SC$ являются боковыми ребрами, поэтому $SA = 1$ и $SC = 1$. Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Применим к треугольнику $SAC$ теорему косинусов, чтобы найти угол $\angle ASC$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SC}$:
$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$
$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle ASC)$
$2 = 1 + 1 - 2\cos(\angle ASC)$
$2 = 2 - 2\cos(\angle ASC)$
$2\cos(\angle ASC) = 0$, следовательно, $\cos(\angle ASC) = 0$. Это означает, что $\angle ASC = 90^\circ$.
Теперь найдем скалярное произведение:
$\vec{SA} \cdot \vec{SC} = |\vec{SA}| |\vec{SC}| \cos(\angle ASC) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:
$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = \vec{SB} \cdot \vec{SC} - \vec{SA} \cdot \vec{SC} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$ воспользуемся определением: $\vec{SB} \cdot \vec{SD} = |\vec{SB}| |\vec{SD}| \cos(\angle BSD)$.

По условию, длины боковых ребер равны 1, значит $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SD}| = 1$.
Чтобы найти скалярное произведение, нам нужно определить угол $\angle BSD$ между векторами.

Рассмотрим треугольник $SBD$. Его стороны $SB$ и $SD$ - это боковые ребра пирамиды, их длины равны 1. Сторона $BD$ - это диагональ квадрата $ABCD$ в основании. Длина этой диагонали такая же, как у диагонали $AC$, то есть $BD = \sqrt{2}$.

Итак, мы имеем треугольник $SBD$ со сторонами $SB=1$, $SD=1$ и $BD=\sqrt{2}$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$SB^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Поскольку $SB^2 + SD^2 = BD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $SBD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится напротив самой длинной стороны (гипотенузы $BD$), то есть $\angle BSD = 90^\circ$.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:
$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = |\vec{SB}| |\vec{SD}| \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.