Номер 20.12, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20.12. Повторите понятие прямоугольной системы координат на плоскости.

Определение прямоугольной системы координат

Прямоугольная, или декартова, система координат на плоскости — это способ однозначного определения положения точки на плоскости с помощью пары чисел, называемых координатами. Эта система задается двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями, которые пересекаются в точке, являющейся началом отсчета для обеих осей.

Элементы системы координат

Основные элементы системы:
1. Координатные оси:
Это две перпендикулярные прямые с выбранным направлением и единицей измерения.
• Ось абсцисс (ось $Ox$): как правило, горизонтальная числовая ось. Положительное направление обычно направлено вправо.
• Ось ординат (ось $Oy$): как правило, вертикальная числовая ось. Положительное направление обычно направлено вверх.
Оси пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

2. Начало координат:
Точка пересечения осей $Ox$ и $Oy$ называется началом координат. Она обозначается буквой $O$ и имеет координаты $(0; 0)$.

3. Координатные четверти (квадранты):
Координатные оси делят плоскость на четыре области, называемые координатными четвертями или квадрантами. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой:
• I четверть: область, где $x > 0$ и $y > 0$.
• II четверть: область, где $x < 0$ и $y > 0$.
• III четверть: область, где $x < 0$ и $y < 0$.
• IV четверть: область, где $x > 0$ и $y < 0$.
Точки, лежащие на осях, не принадлежат ни одной из четвертей.

Координаты точки

Положение любой точки $M$ на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x; y)$, которые называются ее координатами.
• Абсцисса ($x$) — это координата точки на оси $Ox$. Чтобы ее найти, нужно из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$. Координата основания этого перпендикуляра и есть абсцисса точки $M$.
• Ордината ($y$) — это координата точки на оси $Oy$. Чтобы ее найти, нужно из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось $Oy$. Координата основания этого перпендикуляра и есть ордината точки $M$.
Координаты точки принято записывать в скобках, например, $M(x; y)$. Первой всегда указывается абсцисса, второй — ордината.

Значение и применение

Прямоугольная система координат является фундаментальным инструментом в математике и науке. Она позволяет:
• Установить связь между геометрией и алгеброй (основная идея аналитической геометрии).
• Задавать геометрические фигуры (прямые, окружности, параболы и др.) с помощью уравнений.
• Строить графики функций для визуализации зависимостей между величинами.

Ответ: Прямоугольная система координат на плоскости — это система, образованная двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$), которые пересекаются в начале координат $O(0; 0)$. Положение любой точки $M$ на плоскости однозначно определяется парой чисел $(x; y)$, называемых ее координатами (где $x$ — абсцисса, а $y$ — ордината). Эта система позволяет описывать геометрические объекты алгебраическими уравнениями и является основой аналитической геометрии и математического анализа.