Номер 21.5, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.5, страница 107.

Условия.

21.5. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр грани $ABCD$ (рис. 21.6), ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Найдите координаты всех остальных вершин куба.

Рис. 21.6

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим фактическую длину ребра куба. По условию, начало координат $O(0; 0; 0)$ является центром грани $ABCD$, а вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Грань $ABCD$ — это квадрат, и расстояние от его центра до любой из вершин одинаково. Найдем это расстояние $OA$ по формуле расстояния между двумя точками:

$OA = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

С другой стороны, расстояние от центра квадрата до его вершины выражается через длину ребра $s$ как половина длины диагонали квадрата ($d=s\sqrt{2}$). Таким образом, $OA = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Приравняем два выражения для расстояния $OA$: $\frac{s\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Из этого уравнения следует, что $s = 2$.

Это означает, что длина ребра куба равна 2. Упоминание "единичный куб" в условии, по-видимому, является неточностью. Все дальнейшие вычисления будем проводить для куба с ребром $s=2$.

Нахождение координат вершин основания ABCD

Грань $ABCD$ находится в плоскости $z=0$, так как z-координата ее центра $O$ и вершины $A$ равна 0. Ребра куба параллельны осям координат. Вершины квадрата $ABCD$ с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям, имеют координаты вида $(\pm \frac{s}{2}; \pm \frac{s}{2}; 0)$, что в нашем случае дает $(\pm 1; \pm 1; 0)$.

Нам известны координаты вершины $A(-1; 1; 0)$. Найдем координаты остальных вершин основания:

Вершина $B$ смежна с вершиной $A$, и ребро $AB$ параллельно оси $Ox$. Чтобы перейти от $A$ к $B$, нужно изменить x-координату с $-1$ на $1$, сохраняя y-координату. Таким образом, $B$ имеет координаты $(1; 1; 0)$.

Вершина $D$ смежна с вершиной $A$, и ребро $AD$ параллельно оси $Oy$. Чтобы перейти от $A$ к $D$, нужно изменить y-координату с $1$ на $-1$, сохраняя x-координату. Таким образом, $D$ имеет координаты $(-1; -1; 0)$.

Вершина $C$ диагонально противоположна вершине $A$ относительно центра $O(0;0;0)$. Ее координаты можно получить, изменив знаки координат точки $A$: $C(1; -1; 0)$.

Нахождение координат вершин верхнего основания A₁B₁C₁D₁

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$ и смещена вдоль оси $Oz$ на расстояние, равное длине ребра куба, то есть на 2. Чтобы найти координаты вершин верхней грани, нужно к z-координатам соответствующих вершин нижней грани прибавить 2.

$A_1$: $(-1; 1; 0+2) \implies A_1(-1; 1; 2)$

$B_1$: $(1; 1; 0+2) \implies B_1(1; 1; 2)$

$C_1$: $(1; -1; 0+2) \implies C_1(1; -1; 2)$

$D_1$: $(-1; -1; 0+2) \implies D_1(-1; -1; 2)$

Таким образом, мы нашли координаты всех остальных семи вершин куба.

Ответ: $B(1; 1; 0)$, $C(1; -1; 0)$, $D(-1; -1; 0)$, $A_1(-1; 1; 2)$, $B_1(1; 1; 2)$, $C_1(1; -1; 2)$, $D_1(-1; -1; 2)$.