Номер 21.11, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.11. Найдите расстояние от точки $A(-1; 2; 3)$
до координатной плоскости: а) $Oxy$;
б) $Oxz$; в) $Oyz$.

Расстояние от точки в трехмерном пространстве до одной из координатных плоскостей — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. В общем виде, для точки с координатами $A(x_0; y_0; z_0)$ расстояние до координатной плоскости равно модулю той координаты, которая «обнуляется» в этой плоскости.

Дана точка $A(-1; 2; 3)$.

а) Oxy
Координатная плоскость $Oxy$ задается уравнением $z=0$. Все точки, лежащие на этой плоскости, имеют аппликату (z-координату) равную нулю. Расстояние от точки $A(-1; 2; 3)$ до плоскости $Oxy$ равно модулю ее аппликаты.
Проекцией точки $A$ на плоскость $Oxy$ является точка $A_{xy}(-1; 2; 0)$. Расстояние между точками $A$ и $A_{xy}$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_A - x_{A_{xy}})^2 + (y_A - y_{A_{xy}})^2 + (z_A - z_{A_{xy}})^2}$
$d = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
Таким образом, расстояние равно $|z_A| = |3| = 3$.
Ответ: 3.

б) Oxz
Координатная плоскость $Oxz$ задается уравнением $y=0$. Все точки, лежащие на этой плоскости, имеют ординату (y-координату) равную нулю. Расстояние от точки $A(-1; 2; 3)$ до плоскости $Oxz$ равно модулю ее ординаты.
Проекцией точки $A$ на плоскость $Oxz$ является точка $A_{xz}(-1; 0; 3)$. Расстояние между точками $A$ и $A_{xz}$:
$d = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, расстояние равно $|y_A| = |2| = 2$.
Ответ: 2.

в) Oyz
Координатная плоскость $Oyz$ задается уравнением $x=0$. Все точки, лежащие на этой плоскости, имеют абсциссу (x-координату) равную нулю. Расстояние от точки $A(-1; 2; 3)$ до плоскости $Oyz$ равно модулю ее абсциссы.
Проекцией точки $A$ на плоскость $Oyz$ является точка $A_{yz}(0; 2; 3)$. Расстояние между точками $A$ и $A_{yz}$:
$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Таким образом, расстояние равно $|x_A| = |-1| = 1$.
Ответ: 1.