Номер 21.9, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка $O$ — центр основания, точка $G$ — середина ребра $AB$, отрезки $OC$, $OG$, $OS$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 21.10). Найдите координаты вершины этой пирамиды.

Рис. 21.10

По условию задачи, основанием пирамиды является правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а боковые ребра равны 2. Центр основания $O$ совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Основание пирамиды лежит в плоскости $Oxy$, а ее высота $OS$ — на оси $Oz$.

Найдем координаты вершины S.

Вершина $S$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты имеют вид $S(0, 0, z_S)$. Длина отрезка $OS$ является высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$, где $SO$ — высота пирамиды, $OC$ — радиус описанной окружности основания, а $SC$ — боковое ребро.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Следовательно, $OC = 1$.

По условию, длина бокового ребра $SC = 2$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOC$:

$OS^2 + OC^2 = SC^2$

$z_S^2 + 1^2 = 2^2$

$z_S^2 = 4 - 1 = 3$

$z_S = \sqrt{3}$ (так как вершина S находится над основанием).

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

Найдем координаты вершин основания A, B, C, D, E, F.

Все вершины основания лежат в плоскости $Oxy$, поэтому их координата $z$ равна 0. Вершины правильного шестиугольника лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=1$.

По условию, отрезок $OC$ лежит на оси $Ox$. Это означает, что вершина $C$ имеет координаты $(1, 0, 0)$.

По условию, отрезок $OG$, где $G$ — середина ребра $AB$, лежит на оси $Oy$. Это задает ориентацию шестиугольника в плоскости $Oxy$.

Вершины правильного шестиугольника $ABCDEF$ расположены со сдвигом на угол $360^\circ/6 = 60^\circ$ друг относительно друга. Примем стандартный обход вершин против часовой стрелки.

Найдем координаты вершин, используя полярные координаты $(R \cos \varphi, R \sin \varphi, 0)$ с $R=1$:

• Вершина C: Лежит на положительной части оси $Ox$, что соответствует углу $\varphi = 0^\circ$.
  $C(1 \cdot \cos(0^\circ), 1 \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$.
• Вершина D: Угол $\varphi = 60^\circ$.
  $D(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина E: Угол $\varphi = 120^\circ$.
  $E(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина F: Угол $\varphi = 180^\circ$.
  $F(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.
• Вершина A: Угол $\varphi = 240^\circ$ (или $-120^\circ$).
  $A(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина B: Угол $\varphi = 300^\circ$ (или $-60^\circ$).
  $B(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Проверим, что при таком расположении вершин отрезок $OG$ действительно лежит на оси $Oy$. Найдем координаты точки $G$ как середины отрезка $AB$:

$G = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{-1/2 + 1/2}{2}, \frac{-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$.

Координаты точки $G$ показывают, что она лежит на оси $Oy$, что соответствует условию задачи. Вектор $\vec{OC} = (1, 0, 0)$ и вектор $\vec{OG} = (0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно 0.

Ответ: Координаты вершин пирамиды:

$S(0, 0, \sqrt{3})$

$A(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$B(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C(1, 0, 0)$

$D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$E(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F(-1, 0, 0)$