Номер 21.10, страница 108 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.10, страница 108.

Условия.

21.10. Что представляет собой геометрическое место точек пространства, для которых:

а) первая координата равна нулю;

б) вторая координата равна нулю;

в) третья координата равна нулю;

г) первая и вторая координаты равны нулю;

д) первая и третья координаты равны нулю;

е) вторая и третья координаты равны нулю;

ж) все координаты равны нулю?

Решение.

Решение 2.

а) первая координата равна нулю

Пусть точка в пространстве имеет координаты $(x, y, z)$. Условие "первая координата равна нулю" означает, что $x=0$. При этом вторая ($y$) и третья ($z$) координаты могут принимать любые действительные значения. Множество всех точек, удовлетворяющих этому условию, имеет вид $(0, y, z)$. Уравнение $x=0$ в трехмерном пространстве задает координатную плоскость, проходящую через оси $Oy$ и $Oz$. Эта плоскость называется плоскостью $Oyz$.

Ответ: координатная плоскость $Oyz$.

б) вторая координата равна нулю

Условие "вторая координата равна нулю" означает, что $y=0$. При этом первая ($x$) и третья ($z$) координаты могут быть любыми действительными числами. Множество таких точек имеет вид $(x, 0, z)$. Уравнение $y=0$ в пространстве задает координатную плоскость, проходящую через оси $Ox$ и $Oz$. Эта плоскость называется плоскостью $Oxz$.

Ответ: координатная плоскость $Oxz$.

в) третья координата равна нулю

Условие "третья координата равна нулю" означает, что $z=0$. При этом первая ($x$) и вторая ($y$) координаты могут быть любыми. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, имеет вид $(x, y, 0)$. Уравнение $z=0$ в пространстве задает координатную плоскость, проходящую через оси $Ox$ и $Oy$. Эта плоскость называется плоскостью $Oxy$.

Ответ: координатная плоскость $Oxy$.

г) первая и вторая координаты равны нулю

Условие "первая и вторая координаты равны нулю" означает, что $x=0$ и $y=0$ одновременно. Третья координата $z$ может принимать любое действительное значение. Множество таких точек имеет вид $(0, 0, z)$. Это геометрическое место точек является прямой линией, которая совпадает с осью аппликат (осью $Oz$). Эта линия является пересечением двух плоскостей: $x=0$ (плоскость $Oyz$) и $y=0$ (плоскость $Oxz$).

Ответ: ось аппликат ($Oz$).

д) первая и третья координаты равны нулю

Условие "первая и третья координаты равны нулю" означает, что $x=0$ и $z=0$ одновременно. Вторая координата $y$ может быть любой. Множество таких точек имеет вид $(0, y, 0)$. Это геометрическое место точек является прямой линией, которая совпадает с осью ординат (осью $Oy$). Эта линия является пересечением двух плоскостей: $x=0$ (плоскость $Oyz$) и $z=0$ (плоскость $Oxy$).

Ответ: ось ординат ($Oy$).

е) вторая и третья координаты равны нулю

Условие "вторая и третья координаты равны нулю" означает, что $y=0$ и $z=0$ одновременно. Первая координата $x$ может быть любой. Множество таких точек имеет вид $(x, 0, 0)$. Это геометрическое место точек является прямой линией, которая совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$). Эта линия является пересечением двух плоскостей: $y=0$ (плоскость $Oxz$) и $z=0$ (плоскость $Oxy$).

Ответ: ось абсцисс ($Ox$).

ж) все координаты равны нулю

Условие "все координаты равны нулю" означает, что $x=0$, $y=0$ и $z=0$ одновременно. Этому условию удовлетворяет только одна точка с координатами $(0, 0, 0)$. Эта точка является началом координат.

Ответ: начало координат.