Страница 116 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?
Плоскость в трехмерном декартовом пространстве задается общим уравнением плоскости, которое является линейным уравнением первой степени относительно переменных $x, y, z$. Оно имеет следующий вид:
$Ax + By + Cz + D = 0$
Здесь $A, B, C, D$ — действительные числовые коэффициенты. При этом коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, так как они являются координатами вектора нормали к плоскости (то есть, $A^2+B^2+C^2 \neq 0$). Свободный член $D$ определяет смещение плоскости относительно начала координат.
Ответ: Плоскость в пространстве задается общим уравнением вида $Ax + By + Cz + D = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ не равны нулю одновременно.

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?
Вектором нормали (или нормальным вектором) плоскости называется любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) этой плоскости. Для плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вектор с координатами $\vec{n} = \{A; B; C\}$ является ее вектором нормали. Любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{n}$, также будет вектором нормали для данной плоскости. Это означает, что вектор нормали перпендикулярен любому вектору, который лежит в этой плоскости.
Ответ: Вектором нормали плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Его координаты являются коэффициентами $A, B, C$ при переменных в общем уравнении плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$.

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости в пространстве?
Пусть даны две плоскости, заданные своими общими уравнениями:
$\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
$\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$
Их векторы нормали соответственно: $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$.
Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их векторы нормали коллинеарны. Условие коллинеарности двух векторов — это пропорциональность их соответствующих координат. Таким образом, условие параллельности плоскостей имеет вид:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Это условие включает и случай, когда плоскости совпадают, так как совпадающие плоскости также считаются параллельными.
Ответ: Два уравнения определяют параллельные плоскости, если коэффициенты при соответствующих переменных в их уравнениях пропорциональны.

4. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость в пространстве?
Два уравнения определяют одну и ту же (совпадающую) плоскость, если одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое ненулевое число $k$. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения, включая свободный член, пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения.
Для двух плоскостей $\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ условие совпадения записывается как:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$
Ответ: Два уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все их коэффициенты, включая свободные члены, пропорциональны.

5. В каком случае два уравнения определяют перпендикулярные плоскости в пространстве?
Две плоскости являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их векторы нормали перпендикулярны (ортогональны) друг другу.
Пусть плоскости заданы уравнениями $\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, а их векторы нормали — $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$.
Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
В координатной форме это условие выглядит следующим образом:
$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$
Ответ: Два уравнения определяют перпендикулярные плоскости, если скалярное произведение их векторов нормали равно нулю ($A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$).

6. Как можно вычислить угол между двумя плоскостями с заданными уравнениями?
Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как угол между их векторами нормали. По определению, угол между плоскостями — это острый угол (или прямой), поэтому его косинус должен быть неотрицательным.
Пусть даны плоскости $\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормальными векторами $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$.
Косинус угла $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле косинуса угла между векторами, где в числителе используется модуль скалярного произведения:
$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
После вычисления значения косинуса, сам угол $\varphi$ можно найти, взяв арккосинус этого значения: $\varphi = \arccos(\cos\varphi)$.
Ответ: Угол $\varphi$ между двумя плоскостями вычисляется как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ по формуле $\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.

24.1. Найдите координаты вектора нормали для плоскости:

а) $5x - y - 1 = 0$;

б) $3x + 18z - 6 = 0$;

в) $15x + y - 8z + 14 = 0$;

г) $x - 3y + 15z = 0$.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A$, $B$ и $C$ являются координатами вектора нормали (перпендикулярного) к этой плоскости. Вектор нормали, обозначаемый как $\vec{n}$, имеет координаты $(A; B; C)$. Чтобы найти координаты вектора нормали, нужно определить коэффициенты при переменных $x$, $y$ и $z$ в заданном уравнении плоскости.

а) Дано уравнение плоскости: $5x - y - 1 = 0$.
Перепишем это уравнение в полном виде, чтобы явно видеть все коэффициенты: $5x - 1y + 0z - 1 = 0$.
Здесь коэффициенты при переменных равны: $A = 5$, $B = -1$, $C = 0$.
Следовательно, координаты вектора нормали к этой плоскости равны $(5; -1; 0)$.
Ответ: $\vec{n} = (5; -1; 0)$.

б) Дано уравнение плоскости: $3x + 18z - 6 = 0$.
В этом уравнении отсутствует член с переменной $y$, что означает, что коэффициент при ней равен нулю. Полный вид уравнения: $3x + 0y + 18z - 6 = 0$.
Коэффициенты при переменных: $A = 3$, $B = 0$, $C = 18$.
Следовательно, координаты вектора нормали равны $(3; 0; 18)$.
Ответ: $\vec{n} = (3; 0; 18)$.

в) Дано уравнение плоскости: $15x + y - 8z + 14 = 0$.
Уравнение уже представлено в общем виде. Коэффициенты при переменных: $A = 15$, $B = 1$, $C = -8$.
Следовательно, координаты вектора нормали равны $(15; 1; -8)$.
Ответ: $\vec{n} = (15; 1; -8)$.

г) Дано уравнение плоскости: $x - 3y + 15z = 0$.
Перепишем уравнение, чтобы явно видеть коэффициент при $x$: $1x - 3y + 15z + 0 = 0$.
Коэффициенты при переменных: $A = 1$, $B = -3$, $C = 15$.
Следовательно, координаты вектора нормали равны $(1; -3; 15)$.
Ответ: $\vec{n} = (1; -3; 15)$.