Страница 115 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Проверьте самостоятельно, что если угол между векторами нормалей острый или прямой, то он равен углу между плоскостями, а если угол между векторами нормалей тупой, то он равен $180^\circ$ минус угол между плоскостями.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим две пересекающиеся плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Пусть $\vec{n_1}$ — вектор нормали к плоскости $\Pi_1$, а $\vec{n_2}$ — вектор нормали к плоскости $\Pi_2$. Угол между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ обозначим как $\theta$, где $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$. Угол между плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$ по определению является острым или прямым углом, который образуется при пересечении этих плоскостей. Обозначим этот угол как $\alpha$, где $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. В нашем случае, эти прямые — это направления векторов нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Таким образом, угол $\alpha$ между плоскостями связан с углом $\theta$ между их нормалями. Существуют два возможных угла между направлениями нормалей: $\theta$ и $180^\circ - \theta$. По определению, угол между плоскостями $\alpha$ является меньшим из этих двух углов.

Если угол между векторами нормалей острый или прямой:

В этом случае угол $\theta$ между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ удовлетворяет условию $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$. Другой возможный угол между их направлениями равен $180^\circ - \theta$, что будет тупым или прямым углом ($90^\circ \le 180^\circ - \theta \le 180^\circ$).

По определению, угол между плоскостями $\alpha$ — это наименьший угол, то есть острый или прямой. Сравнивая два возможных угла, $\theta$ и $180^\circ - \theta$, мы видим, что $\theta$ является меньшим или равным, так как он уже находится в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$. Следовательно, угол между плоскостями $\alpha$ будет равен углу $\theta$ между векторами нормалей.

Таким образом, если угол $\theta$ между векторами нормалей острый или прямой, то он равен углу $\alpha$ между плоскостями.

Ответ: если угол между векторами нормалей острый или прямой ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$), то он равен углу между плоскостями ($\alpha = \theta$).

Если угол между векторами нормалей тупой:

В этом случае угол $\theta$ между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ удовлетворяет условию $90^\circ < \theta \le 180^\circ$. Другой возможный угол между их направлениями равен $180^\circ - \theta$. Поскольку $\theta$ тупой, то $180^\circ - \theta$ будет острым ($0^\circ \le 180^\circ - \theta < 90^\circ$).

По определению, угол между плоскостями $\alpha$ должен быть острым или прямым. Сравнивая два возможных угла, $\theta$ (тупой) и $180^\circ - \theta$ (острый), мы должны выбрать меньший из них. Очевидно, что меньшим является угол $180^\circ - \theta$.

Следовательно, угол между плоскостями $\alpha$ будет равен $180^\circ - \theta$.

Таким образом, если угол $\theta$ между векторами нормалей тупой, то угол между плоскостями $\alpha$ равен $180^\circ$ минус угол $\theta$.

Ответ: если угол между векторами нормалей тупой ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$), то угол между плоскостями равен $180^\circ - \theta$.