Проверь себя!, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора $\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA_1}$:

А. 1. B. 2. C. $\sqrt{2}$. D. $\sqrt{3}$.

2. Найдите координаты ортогональной проекции точки A(-5; 6; -7) на плоскость Oyz:

А. (0; 6; -7). B. (-5; 0; -7). C. (-5; 6; 0). D. (-5; 0; 0).

3. Найдите расстояние от точки B(3; -8; -11) до плоскости Oxy:

А. -11. B. 11. C. 3. D. 8.

4. На каком расстоянии от оси Oz находится точка C(1; -5; 6):

А. 5. B. $2\sqrt{13}$. C. 6. D. $\sqrt{26}$?

5. Найдите расстояние между точками E(-1; 0; 4) и F(2; -5; 1):

А. $5\sqrt{18}$. B. $\sqrt{51}$. C. $\sqrt{43}$. D. $\sqrt{59}$.

6. Найдите координаты середины отрезка GH, если G(3; -2; 0), H(0; -12; 5):

А. $(\frac{3}{2}; -5; 5)$. B. $(3; -7; -\frac{5}{2})$. C. $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$. D. $(-3; 7; -\frac{5}{2})$.

7. Найдите координаты центра сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z + 1 = 0$:

А. (1; -1; 2). B. (1; 2; -1). C. (0; -1; 2). D. (0; 1; -2).

8. Найдите координаты вектора $\overline{IJ}$, если I(5; -1; 2), J(3; -2; 0):

А. (2; -1; 2). B. (-2; -1; 2). C. (2; -3; 2). D. (-2; -1; -2).

9. Найдите длину вектора $\overline{KL}$, если K(0; -1; 2), L(-3; 5; 0):

А. $\sqrt{29}$. B. 7. C. 5. D. $2\sqrt{7}$.

10. Найдите длину вектора $5\overline{i} - \overline{j} + 2\overline{k}$:

А. 36. B. 6. C. $\sqrt{30}$. D. $2\sqrt{7}$.

11. Найдите скалярное произведение векторов $\overline{a}(-5; 6; 1)$ и $\overline{b}(0; -9; 7)$:

А. -52. B. 47. C. -47. D. -56.

12. При каком значении k векторы $2\overline{a} - k\overline{b}$ и $\overline{a} + \overline{b}$ перпендикулярны, если $\overline{a}(0; 1; -2)$ и $\overline{b}(2; 0; 1)$:

А. 2. B. $3\frac{1}{2}$. C. $-3\frac{1}{2}$. D. Нет решения?

13*. Точка M(2; 1; m) принадлежит плоскости $3x - y + 2z - 1 = 0$. Найдите m:

А. 3. B. -3. C. 2. D. -2.

14*. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости $4x - 5y + 2z + 11 = 0$ и проходящей через точку P(3; -2; -4):

А. $4x - 5y + 2z - 10 = 0$. B. $8x - 10y + 4z + 22 = 0$. C. $4x - 5y + 2z + 14 = 0$. D. $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

15*. Определите, какая фигура в пространстве задается уравнением $y^2 + z^2 = 0$:

А. Плоскость Oyz. B. Ось Ox. C. Оси Oy и Oz. D. Плоскости Oxy и Oxz.

1. В единичном кубе ребра, выходящие из одной вершины, например A, взаимно перпендикулярны. Если принять точку А за начало координат, а ребра $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ направить вдоль осей координат, то их координаты будут $\vec{AB} = (1, 0, 0)$, $\vec{AD} = (0, 1, 0)$ и $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ (в другой системе координат, но это не повлияет на длину). Сумма этих векторов, согласно правилу параллелепипеда, равна вектору диагонали куба, выходящей из той же вершины, то есть вектору $\vec{AC_1}$. Координаты суммарного вектора $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = (1, 1, 1)$. Длина этого вектора вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. Ответ: D. $\sqrt{3}$.

2. Ортогональная проекция точки на координатную плоскость Oyz означает, что координата, соответствующая оси, перпендикулярной этой плоскости (в данном случае, ось Ox), становится равной нулю, а остальные координаты остаются без изменений. Для точки A(-5; 6; -7) ее проекцией на плоскость Oyz будет точка с координатами (0; 6; -7). Ответ: A. (0; 6; -7).

3. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости Oxy (уравнение которой $z=0$) равно модулю ее аппликаты (координаты z). Для точки B(3; -8; -11) расстояние до плоскости Oxy равно $|-11| = 11$. Ответ: B. 11.

4. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oz вычисляется как расстояние между самой точкой и ее проекцией на эту ось, которая имеет координаты $(0, 0, z_0)$. Формула расстояния: $d = \sqrt{(x_0-0)^2 + (y_0-0)^2 + (z_0-z_0)^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$. Для точки C(1; -5; 6) расстояние до оси Oz равно $\sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$. Ответ: D. $\sqrt{26}$?.

5. Расстояние между двумя точками $E(x_1, y_1, z_1)$ и $F(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$. Подставляем координаты точек E(-1; 0; 4) и F(2; -5; 1): $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$. Ответ: C. $\sqrt{43}$.

6. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для отрезка GH с концами G(3; -2; 0) и H(0; -12; 5) координаты середины M будут: $x_M = \frac{3+0}{2} = \frac{3}{2}$, $y_M = \frac{-2 + (-12)}{2} = \frac{-14}{2} = -7$, $z_M = \frac{0+5}{2} = \frac{5}{2}$. Таким образом, координаты середины отрезка GH равны $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$. Ответ: C. $(\frac{3}{2}; -7; \frac{5}{2})$.

7. Чтобы найти центр сферы, приведем ее уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — координаты центра. Для этого сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты: $x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) + 1 = 0$ $x^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + (z^2 - 4z + 4) - 4 + 1 = 0$ $x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - 4 = 0$ $(x-0)^2 + (y-(-1))^2 + (z-2)^2 = 4$. Из канонического уравнения видно, что центр сферы находится в точке (0; -1; 2). Ответ: C. (0; -1; 2).

8. Координаты вектора, заданного двумя точками, находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\vec{IJ}$ с началом в точке I(5; -1; 2) и концом в точке J(3; -2; 0) имеем: $\vec{IJ} = (3-5; -2-(-1); 0-2) = (-2; -1; -2)$. Ответ: D. (-2; -1; -2).

9. Сначала найдем координаты вектора $\vec{KL}$, вычитая из координат точки L координаты точки K: $\vec{KL} = (-3-0; 5-(-1); 0-2) = (-3; 6; -2)$. Длина (модуль) вектора $\vec{v}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. $|\vec{KL}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$. Ответ: B. 7.

10. Вектор $5\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}$ имеет координаты $(5; -1; 2)$. Его длина вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$. Ответ: C. $\sqrt{30}$.

11. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Для векторов $\vec{a}(-5; 6; 1)$ и $\vec{b}(0; -9; 7)$ имеем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot 0 + 6 \cdot (-9) + 1 \cdot 7 = 0 - 54 + 7 = -47$. Ответ: C. -47.

12. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a} - k\vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$. $\vec{a}(0; 1; -2)$, $\vec{b}(2; 0; 1)$. $2\vec{a} = (0; 2; -4)$, $k\vec{b} = (2k; 0; k)$. $2\vec{a} - k\vec{b} = (0-2k; 2-0; -4-k) = (-2k; 2; -4-k)$. $\vec{a} + \vec{b} = (0+2; 1+0; -2+1) = (2; 1; -1)$. Теперь найдем их скалярное произведение и приравняем к нулю: $(-2k) \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-4-k) \cdot (-1) = 0$ $-4k + 2 + 4 + k = 0$ $-3k + 6 = 0$ $3k = 6$ $k = 2$. Ответ: A. 2.

13*. Если точка M(2; 1; m) принадлежит плоскости, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставим координаты точки в уравнение $3x - y + 2z - 1 = 0$: $3(2) - 1 + 2(m) - 1 = 0$ $6 - 1 + 2m - 1 = 0$ $4 + 2m = 0$ $2m = -4$ $m = -2$. Ответ: D. -2.

14*. Плоскость, параллельная данной плоскости $4x - 5y + 2z + 11 = 0$, имеет уравнение вида $4x - 5y + 2z + D = 0$, так как у них один и тот же нормальный вектор $(4; -5; 2)$. Чтобы найти коэффициент D, подставим в это уравнение координаты точки P(3; -2; -4), через которую проходит искомая плоскость: $4(3) - 5(-2) + 2(-4) + D = 0$ $12 + 10 - 8 + D = 0$ $14 + D = 0$ $D = -14$. Следовательно, уравнение искомой плоскости: $4x - 5y + 2z - 14 = 0$. Ответ: D. $4x - 5y + 2z - 14 = 0$.

15*. Уравнение $y^2 + z^2 = 0$ в трехмерном пространстве. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, это уравнение эквивалентно системе двух уравнений: $y = 0$ $z = 0$. Координата $x$ при этом может принимать любое действительное значение. Множество всех точек вида $(x, 0, 0)$ образует ось абсцисс, то есть ось Ox. Ответ: B. Ось Ox.