Номер 24.6, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 24*. Уравнение плоскости в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 24.6, страница 117.

Условия.

24.6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 24.3).

Напишите уравнения плоскостей, содержащих грани этого куба.

Рис. 24.3

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, вершина $D$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ совпадает с началом координат, а ребра $DC$, $DA$ и $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Определим координаты всех вершин куба:
$D(0, 0, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$A(0, 1, 0)$
$D_1(0, 0, 1)$
$B(1, 1, 0)$
$A_1(0, 1, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$
$B_1(1, 1, 1)$
Теперь напишем уравнения для шести плоскостей, содержащих грани куба. Уравнение плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, имеет очень простой вид.

Плоскость грани ABCD
Эта грань (нижнее основание) содержит вершины $A(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 0)$ и $D(0, 0, 0)$. У всех этих точек координата $z$ равна 0. Следовательно, эта грань лежит в координатной плоскости $Oxy$.
Ответ: $z = 0$.

Плоскость грани A₁B₁C₁D₁
Эта грань (верхнее основание) параллельна грани $ABCD$ и смещена от нее на 1 по оси $Oz$. Все ее вершины, $A_1(0, 1, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$, имеют координату $z=1$.
Ответ: $z = 1$.

Плоскость грани ADD₁A₁
Эта грань (левая боковая грань, лежащая в плоскости $Oyz$) содержит вершины $A(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$ и $A_1(0, 1, 1)$. У всех этих точек координата $x$ равна 0.
Ответ: $x = 0$.

Плоскость грани BCC₁B₁
Эта грань (правая боковая грань) параллельна грани $ADD_1A_1$ и смещена от нее на 1 по оси $Ox$. Все ее вершины, $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $B_1(1, 1, 1)$, имеют координату $x=1$.
Ответ: $x = 1$.

Плоскость грани DCC₁D₁
Эта грань (передняя боковая грань, лежащая в плоскости $Oxz$) содержит вершины $D(0, 0, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $C_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$. У всех этих точек координата $y$ равна 0.
Ответ: $y = 0$.

Плоскость грани ABB₁A₁
Эта грань (задняя боковая грань) параллельна грани $DCC_1D_1$ и смещена от нее на 1 по оси $Oy$. Все ее вершины, $A(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $A_1(0, 1, 1)$, имеют координату $y=1$.
Ответ: $y = 1$.