Номер 24.9, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 24*. Уравнение плоскости в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 24.9, страница 117.

Условия.

24.9. Перпендикулярны ли плоскости:

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$;

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$;

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, перпендикулярны ли две плоскости, необходимо проверить, перпендикулярны ли их нормальные векторы. Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ равно нулю.

Условие перпендикулярности: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Проверим это условие для каждой пары плоскостей.

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$

Запишем уравнения в общем виде, чтобы найти нормальные векторы:

Плоскость 1: $0x + 1y + 1z + 1 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.

Плоскость 2: $0x + 1y - 1z + 1 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, и плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$

Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, -5, 1)$.

Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (3, 2, 4)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (-5)(2) + (1)(4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, перпендикулярны.

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$

Запишем уравнения в общем виде, чтобы найти нормальные векторы:

Плоскость 1: $7x - 1y + 0z + 9 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (7, -1, 0)$.

Плоскость 2: $0x + 1y + 2z - 3 = 0$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (7)(0) + (-1)(1) + (0)(2) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \ne 0$), плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, не перпендикулярны.