Номер 23.13, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.13. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 4, DA = 3, DD_1 = 2$ (рис. 23.5).

Найдите длину вектора:

а) $\overline{DB}$;

б) $\overline{DA_1}$;

в) $\overline{DC_1}$;

г) $\overline{DB_1}$;

д) $\overline{AB}$;

е) $\overline{AC}$;

ж) $\overline{AB_1}$;

з) $\overline{AD_1}$;

и) $\overline{AC_1}$.

Рис. 23.5

По условию задачи, вершина $D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является началом координат. Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Длины ребер равны $DC=4$, $DA=3$, $DD_1=2$.

Исходя из этого, определим координаты вершин параллелепипеда: $A(0, 3, 0)$, $B(4, 3, 0)$, $C(4, 0, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $A_1(0, 3, 2)$, $B_1(4, 3, 2)$, $C_1(4, 0, 2)$, $D_1(0, 0, 2)$.

Длина (модуль) вектора $\overline{v}$ с координатами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\overline{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Координаты вектора $\overline{PQ}$ с началом в точке $P(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $Q(x_2, y_2, z_2)$ равны $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Находим координаты вектора $\overline{DB}$, зная координаты его начала $D(0,0,0)$ и конца $B(4,3,0)$.
$\overline{DB} = (4-0, 3-0, 0-0) = (4, 3, 0)$.
Теперь находим длину вектора:
$|\overline{DB}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

Находим координаты вектора $\overline{DA_1}$, зная координаты его начала $D(0,0,0)$ и конца $A_1(0,3,2)$.
$\overline{DA_1} = (0-0, 3-0, 2-0) = (0, 3, 2)$.
Находим длину вектора:
$|\overline{DA_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

Находим координаты вектора $\overline{DC_1}$, зная координаты его начала $D(0,0,0)$ и конца $C_1(4,0,2)$.
$\overline{DC_1} = (4-0, 0-0, 2-0) = (4, 0, 2)$.
Находим длину вектора:
$|\overline{DC_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

Находим координаты вектора $\overline{DB_1}$, зная координаты его начала $D(0,0,0)$ и конца $B_1(4,3,2)$.
$\overline{DB_1} = (4-0, 3-0, 2-0) = (4, 3, 2)$.
Находим длину вектора (это диагональ параллелепипеда):
$|\overline{DB_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$

Находим координаты вектора $\overline{AB}$, зная координаты его начала $A(0,3,0)$ и конца $B(4,3,0)$.
$\overline{AB} = (4-0, 3-3, 0-0) = (4, 0, 0)$.
Находим длину вектора:
$|\overline{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

Находим координаты вектора $\overline{AC}$, зная координаты его начала $A(0,3,0)$ и конца $C(4,0,0)$.
$\overline{AC} = (4-0, 0-3, 0-0) = (4, -3, 0)$.
Находим длину вектора (это диагональ основания $ABCD$):
$|\overline{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

Находим координаты вектора $\overline{AB_1}$, зная координаты его начала $A(0,3,0)$ и конца $B_1(4,3,2)$.
$\overline{AB_1} = (4-0, 3-3, 2-0) = (4, 0, 2)$.
Находим длину вектора (это диагональ грани $AA_1B_1B$):
$|\overline{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

Находим координаты вектора $\overline{AD_1}$, зная координаты его начала $A(0,3,0)$ и конца $D_1(0,0,2)$.
$\overline{AD_1} = (0-0, 0-3, 2-0) = (0, -3, 2)$.
Находим длину вектора (это диагональ грани $AA_1D_1D$):
$|\overline{AD_1}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$

Находим координаты вектора $\overline{AC_1}$, зная координаты его начала $A(0,3,0)$ и конца $C_1(4,0,2)$.
$\overline{AC_1} = (4-0, 0-3, 2-0) = (4, -3, 2)$.
Находим длину вектора (это вторая диагональ параллелепипеда):
$|\overline{AC_1}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
Ответ: $\sqrt{29}$