Номер 17.5, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.5. Найдите двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной шестиугольной призмы (рис. 17.13).

Рис. 17.13

Пусть дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Нам нужно найти двугранный угол, образованный соседними боковыми гранями. В качестве примера рассмотрим две соседние боковые грани: плоскость $(ABB_1A_1)$ и плоскость $(BCC_1B_1)$.

Двугранный угол измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны этому ребру.

Линией пересечения (ребром двугранного угла) для граней $(ABB_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ является боковое ребро $BB_1$.

По определению, правильная призма является прямой призмой, в основании которой лежит правильный многоугольник. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $(ABC)$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Значит, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$.

Отрезок $AB$ лежит в плоскости грани $(ABB_1A_1)$ и перпендикулярен общему ребру $BB_1$. Отрезок $BC$ лежит в плоскости грани $(BCC_1B_1)$ и также перпендикулярен общему ребру $BB_1$. Оба отрезка исходят из одной точки $B$ на ребре $BB_1$.

Таким образом, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла между гранями $(ABB_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$.

Величина угла $\angle ABC$ — это величина внутреннего угла правильного шестиугольника $ABCDEF$, который лежит в основании призмы. Величину внутреннего угла правильного n-угольника можно найти по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Для правильного шестиугольника $n=6$. Подставим это значение в формулу:
$\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Так как призма правильная, все двугранные углы между соседними боковыми гранями равны между собой.
Ответ: $120^\circ$.