Номер 12.2, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 12.6) найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости:

а) $BCC_1$;

б) $BCD_1$.

Рис. 12.6

а) Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Рассмотрим плоскость $BCC_1$. Эта плоскость совпадает с плоскостью грани $BCC_1B_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как грань $ABCD$ является квадратом. Ребро $AB$ также перпендикулярно ребру $BB_1$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AB$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.
Ответ: $1$.

б) Для нахождения расстояния от точки до плоскости $BCD_1$ введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, направив оси $DX$, $DY$, $DZ$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты: $D(0, 0, 0)$ $A(1, 0, 0)$ $C(0, 1, 0)$ $D_1(0, 0, 1)$ Исходя из этого, найдем координаты вершины $B$. Вектор $\vec{DB}$ равен сумме векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$. Координаты точки $B$ будут $(1, 1, 0)$. Нам нужно найти расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$ и $D_1(0, 0, 1)$. Составим уравнение плоскости $BCD_1$ в виде $ax + by + cz + d = 0$. Подставим в него координаты точек $B$, $C$ и $D_1$: Для $B(1, 1, 0)$: $a(1) + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ Для $C(0, 1, 0)$: $a(0) + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow b + d = 0 \Rightarrow b = -d$ Для $D_1(0, 0, 1)$: $a(0) + b(0) + c(1) + d = 0 \Rightarrow c + d = 0 \Rightarrow c = -d$ Подставим $b = -d$ в первое уравнение: $a + (-d) + d = 0 \Rightarrow a = 0$. Итак, мы получили $a=0$, $b=-d$, $c=-d$. Для удобства положим $d=-1$, тогда $a=0$, $b=1$, $c=1$. Уравнение плоскости $BCD_1$ имеет вид: $0x + 1y + 1z - 1 = 0$, или $y + z - 1 = 0$. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле: $D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $y + z - 1 = 0$. Здесь $x_0=1, y_0=0, z_0=0$ и $a=0, b=1, c=1, d=-1$. $D = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.