Номер 12.6, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 12.6, страница 71.

Условия.

12.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние от вершины A до прямой: а) $BD_1$; б) $CD_1$.

Рис. 12.7

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания, правильного шестиугольника $ABCDEF$, находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Так как призма правильная и все ребра равны 1, то высота призмы равна 1, а сторона основания равна 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне, то есть 1.

Расположим вершины основания в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $D$ лежит на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A(-1, 0, 0)$

$B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D(1, 0, 0)$

Вершины верхнего основания будут иметь те же координаты $x$ и $y$, а координата $z$ будет равна 1. В частности, координаты вершины $D_1$ будут $D_1(1, 0, 1)$.

а) Найдем расстояние от вершины $A$ до прямой $BD_1$.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, можно найти по формуле $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{M_1M_2}|}{|\vec{M_1M_2}|}$.

В нашем случае точка $M_0$ — это $A(-1, 0, 0)$, а прямая проходит через точки $M_1 = B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $M_2 = D_1(1, 0, 1)$.

Найдем векторы:

$\vec{BA} = \vec{M_1M_0} = \langle -1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0 \rangle = \langle -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \rangle$

$\vec{BD_1} = \vec{M_1M_2} = \langle 1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0 \rangle = \langle \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \rangle$

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{BA} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j} - \sqrt{3}\vec{k}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{BA} \times \vec{BD_1}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем модуль вектора $\vec{BD_1}$:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Искомое расстояние равно:

$d = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.

б) Найдем расстояние от вершины $A$ до прямой $CD_1$.

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $CD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника, используя координаты вершин: $A(-1, 0, 0)$, $C(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(1, 0, 1)$.

Длина стороны $AC$ (малая диагональ шестиугольника):

$|AC|^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$|AC| = \sqrt{3}$.

Длина стороны $CD_1$ (диагональ боковой грани-квадрата):

$|CD_1|^2 = (1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (1 - 0)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 1 + 1 = 2$.

$|CD_1| = \sqrt{2}$.

Длина стороны $AD_1$ (пространственная диагональ):

$|AD_1|^2 = (1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

$|AD_1| = \sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли для треугольника $ACD_1$ теорема Пифагора:

$|AC|^2 + |CD_1|^2 = 3 + 2 = 5 = |AD_1|^2$.

Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $C$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен катету $CD_1$.

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $CD_1$ равно длине перпендикуляра, то есть длине отрезка $AC$.

$d = |AC| = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.