Номер 12.7, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 12.7, страница 71.

Условия.

12.7. Стороны основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины $A$ этой призмы до плоскости $BCC_1$.

Рис. 12.8

Решение.

Решение 2.

По условию задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что в основаниях призмы лежат правильные (равносторонние) треугольники, а боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основаниям.

Основания призмы — треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Стороны основания равны 1, то есть $AB = BC = AC = 1$.

Нам необходимо найти расстояние от вершины $A$ до плоскости боковой грани $BCC_1$. Расстояние от точки до плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $AH$ к стороне $BC$.

По определению высоты, $AH \perp BC$.

Так как призма правильная, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $CC_1 \perp AH$.

Мы имеем, что прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$) в плоскости $BCC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AH$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$.

Таким образом, длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Найдем длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$. Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a=1$:

$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$