Номер 12.5, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 12.5, страница 71.

Условия.

12.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние между вершинами:

а) A и $C_1$;

б) A и $D_1$.

Рис. 12.7

Решение.

Решение 2.

В данной задаче мы имеем правильную шестиугольную призму, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1$) также равна 1.

а) А и C₁

Чтобы найти расстояние между вершинами A и C₁, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому его длина равна 1. Катет $AC$ лежит в плоскости основания. Искомое расстояние $AC_1$ будет гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ в основании. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Так как основание – правильный шестиугольник, все его стороны равны 1, а все внутренние углы равны $120^\circ$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ мы имеем $AB = 1$, $BC = 1$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к треугольнику $ACC_1$ и найдем гипотенузу $AC_1$:

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) А и D₁

Аналогично, чтобы найти расстояние между вершинами A и D₁, мы рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $DD_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $AD$ — это большая диагональ шестиугольника в основании. Искомое расстояние $AD_1$ — гипотенуза этого треугольника.

По теореме Пифагора: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$.

Найдем длину большой диагонали $AD$ правильного шестиугольника со стороной 1. Большая диагональ правильного шестиугольника всегда в два раза длиннее его стороны.

Это можно увидеть, разбив шестиугольник на 6 равносторонних треугольников с вершинами в центре. Диагональ $AD$ проходит через центр и состоит из двух сторон таких треугольников. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь подставим найденные значения в теорему Пифагора для треугольника $ADD_1$:

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$