Страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Докажите, что у параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны плоскости:

а) $ABB_1$ и $CDD_1$;

б) $ABD_1$ и $BDC_1$.

а) Для доказательства параллельности плоскостей $ABB_1$ и $CDD_1$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
1. Плоскость $ABB_1$ проходит через прямые $AB$ и $BB_1$, которые пересекаются в точке $B$.
2. Плоскость $CDD_1$ проходит через прямые $CD$ и $DD_1$, которые пересекаются в точке $D$.
3. По определению параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, его грани являются параллелограммами.
- Грань $ABCD$ является параллелограммом, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).
- Грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, а также грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$ ($BB_1 \parallel DD_1$).
4. Мы получили, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $BB_1$ в плоскости $ABB_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $CD$ и $DD_1$ в плоскости $CDD_1$.
5. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $CDD_1$.
Ответ: плоскости $ABB_1$ и $CDD_1$ параллельны, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства параллельности плоскостей $AB_1D_1$ и $BDC_1$ также воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей.
1. Плоскость $AB_1D_1$ определена двумя прямыми $AB_1$ и $AD_1$, пересекающимися в точке $A$.
2. Плоскость $BDC_1$ определена двумя прямыми $BD$ и $DC_1$. Нам нужно найти в этой плоскости прямые, параллельные $AB_1$ и $AD_1$. Рассмотим прямые $BC_1$ и $DC_1$, которые пересекаются в точке $C_1$ и задают плоскость $BDC_1$ (так как точка $B$ не лежит на прямой $D C_1$, а точка $D$ не лежит на прямой $B C_1$).
3. Докажем, что $AD_1 \parallel BC_1$ и $AB_1 \parallel DC_1$. Для этого удобно использовать векторы. Введем базисные векторы, отложенные от вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{a_1}$.
4. Выразим векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ через базисные:
- $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$. Так как $ADD_1A_1$ — параллелограмм, то $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{AD_1} = \vec{d} + \vec{a_1}$.
- $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$. Так как $BCC_1B_1$ — параллелограмм, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \vec{d} + \vec{a_1}$.
- Поскольку векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ равны, то соответствующие им отрезки параллельны и равны по длине. Значит, $AD_1 \parallel BC_1$.
5. Теперь выразим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ через базисные:
- $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм, то $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.
- $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$. Так как $CDD_1C_1$ — параллелограмм, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{DC_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.
- Поскольку векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ равны, отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны. Значит, $AB_1 \parallel DC_1$.
6. Мы доказали, что две пересекающиеся прямые $AB_1$ и $AD_1$ в плоскости $AB_1D_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $DC_1$ и $BC_1$ в плоскости $BDC_1$.
7. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $AB_1D_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.
Ответ: плоскости $AB_1D_1$ и $BDC_1$ параллельны, что и требовалось доказать.

8.8. Верно ли утверждение: "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны"?

Данное утверждение неверно.

Для того чтобы плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Это является признаком параллельности плоскостей. В условии задачи не уточняется, являются ли две прямые в первой плоскости пересекающимися или параллельными. Поэтому необходимо рассмотреть оба возможных случая.

Случай 1: Две прямые в первой плоскости пересекаются.

Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. В плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $a_1$ ($a \parallel a_1$), а прямая $b$ параллельна прямой $b_1$ ($b \parallel b_1$). Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, то и параллельные им прямые $a_1$ и $b_1$ также должны пересекаться. В этом случае полностью выполняется признак параллельности двух плоскостей. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Таким образом, в этом частном случае утверждение является верным.

Случай 2: Две прямые в первой плоскости параллельны.

Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две параллельные прямые $a$ и $b$. Этот случай также удовлетворяет условию задачи, так как оно не накладывает ограничений на взаимное расположение прямых. Однако в этом случае утверждение может быть неверным, что можно доказать, приведя контрпример.

Контрпример.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по некоторой прямой $l$. Например, это могут быть две смежные грани куба или две страницы раскрытой книги. Очевидно, что по построению эти плоскости не параллельны.

В плоскости $\alpha$ проведем две различные прямые $a$ и $b$, которые обе параллельны линии пересечения плоскостей $l$. Так как $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то по свойству транзитивности параллельных прямых имеем $a \parallel b$. Обе прямые лежат в плоскости $\alpha$.

Аналогичным образом, в плоскости $\beta$ проведем две различные прямые $a_1$ и $b_1$, которые также параллельны прямой $l$. Тогда $a_1 \parallel b_1$, и обе прямые лежат в плоскости $\beta$.

Поскольку все четыре прямые ($a, b, a_1, b_1$) параллельны одной и той же прямой $l$, они все параллельны между собой. В частности, это означает, что $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$.

Таким образом, мы построили конфигурацию, в которой условия утверждения полностью выполнены:

• есть две прямые $a$ и $b$, лежащие в плоскости $\alpha$;
• есть две прямые $a_1$ и $b_1$, лежащие в плоскости $\beta$;
• прямые из первой плоскости параллельны прямым из второй ($a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$).

Поскольку существует контрпример, в котором условия выполняются, а заключение — нет, исходное утверждение в общем виде является неверным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

8.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться линией их пересечения.

Рассмотрим плоскости $ABC_1$ и $BCD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Поиск первой общей точки.
Точка $B$ по определению принадлежит плоскости $ABC_1$ (так как входит в её название $A\mathbf{B}C_1$).
Точка $B$ также по определению принадлежит плоскости $BCD_1$ (так как входит в её название $\mathbf{B}CD_1$).
Следовательно, точка $B$ является общей точкой для двух плоскостей и лежит на линии их пересечения.

2. Поиск второй общей точки.
Рассмотрим точку $D_1$. По определению, точка $D_1$ принадлежит плоскости $BCD_1$.
Теперь докажем, что точка $D_1$ также принадлежит плоскости $ABC_1$. Для этого нужно показать, что точки $A, B, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости (являются компланарными).
Проще всего это сделать с помощью векторов в системе координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$.
Тогда координаты интересующих нас вершин будут:
$A(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$D(0, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
Из них находим координаты точек $C_1$ и $D_1$:
$C_1$ получается сдвигом точки $C(a, a, 0)$ на вектор $\vec{AA_1}(0, 0, a)$, поэтому $C_1(a, a, a)$.
$D_1$ получается сдвигом точки $D(0, a, 0)$ на вектор $\vec{AA_1}(0, 0, a)$, поэтому $D_1(0, a, a)$.

Чтобы проверить, лежат ли точки $A, B, C_1, D_1$ в одной плоскости, нужно проверить компланарность векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AD_1}$, исходящих из одной точки $A$.
Найдем координаты этих векторов:
$\vec{AB} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение как определитель матрицы, составленной из координат векторов:
$(\vec{AB} \times \vec{AC_1}) \cdot \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ a & a & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = a \cdot (a \cdot a - a \cdot a) - 0 \cdot (a \cdot a - a \cdot 0) + 0 \cdot (a \cdot a - a \cdot 0) = a \cdot (a^2 - a^2) = 0$.
Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Это означает, что точки $A, B, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, точка $D_1$ принадлежит плоскости $ABC_1$.

3. Вывод.
Мы установили, что точка $B$ и точка $D_1$ принадлежат обеим плоскостям: $ABC_1$ и $BCD_1$. Поскольку через две точки проходит единственная прямая, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через точки $B$ и $D_1$.

Ответ: прямая $BD_1$.

8.13. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные плоскости.

Параллельные плоскости — это математическая идеализация, которая представляет собой две бесконечные, идеально ровные поверхности в пространстве, не имеющие общих точек. В реальном мире мы постоянно сталкиваемся с объектами, которые с высокой точностью можно рассматривать как части таких плоскостей. Эта идеализация необходима в науке и инженерии для упрощения моделей и расчетов.

Классическим примером из повседневной жизни являются пол и потолок в комнате. При проектировании и строительстве их стремятся сделать параллельными. Несмотря на то, что они имеют конечные размеры и микроскопические неровности, для большинства практических целей (например, для расчета объема помещения) их можно считать параллельными плоскостями. То же самое относится и к противоположным стенам в прямоугольной комнате.

Другой наглядный пример — это полки в книжном шкафу или на стеллаже. Их устанавливают параллельно друг другу, чтобы предметы стояли устойчиво. Каждая полка — это физический аналог части плоскости. Аналогично, страницы в закрытой книге или листы бумаги в ровной стопке образуют множество параллельных друг другу поверхностей.

В технике и физике данная идеализация также широко используется. Например, обкладки плоского конденсатора — это две проводящие пластины, расположенные параллельно. Модель параллельных плоскостей позволяет точно описать электрическое поле между ними. В строительстве межэтажные перекрытия в многоэтажном здании служат хорошим примером системы параллельных плоскостей. Также можно упомянуть стёкла в многокамерном стеклопакете, которые устанавливаются параллельно для обеспечения тепло- и звукоизоляции.

Ответ: Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные плоскости, служат пол и потолок в комнате, полки в шкафу, страницы в закрытой книге, обкладки плоского конденсатора, стёкла в стеклопакете, межэтажные перекрытия в здании.