Номер 8.12, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.12. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью (рис. 8.8), то их линии пересечения параллельны.

Рис. 8.8

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и третья плоскость $\gamma$, которая их пересекает.

Пусть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ есть прямая $a$. То есть, $a = \alpha \cap \gamma$.
Пусть линия пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ есть прямая $b$. То есть, $b = \beta \cap \gamma$.

Нам необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Доказательство:

1. Прямая $a$ по определению принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$).
2. Прямая $b$ по определению принадлежит плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$) и плоскости $\gamma$ ($b \subset \gamma$).

Поскольку обе прямые, $a$ и $b$, лежат в одной плоскости $\gamma$, они являются копланарными. Две прямые в одной плоскости могут либо пересекаться, либо быть параллельными.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M$.

Если точка $M$ существует, то она принадлежит обеим прямым: $M \in a$ и $M \in b$.

Рассмотрим, что из этого следует:
- Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
- Так как точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$), а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Таким образом, мы получаем, что точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Однако это противоречит исходному условию задачи, по которому плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек.

Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является ложным.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости ($\gamma$) и не пересекаются, они должны быть параллельны.

Итак, $a \parallel b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью всегда параллельны.