Номер 8.11, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.11. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости $ABC_1$ и $CD_1E_1$.

Для доказательства параллельности плоскостей $(ABC_1)$ и $(CD_1E_1)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим плоскость $(ABC_1)$. Выберем в ней две пересекающиеся прямые, например, $AB$ и $AC_1$. Эти прямые пересекаются в точке $A$.

Теперь докажем, что в плоскости $(CD_1E_1)$ существуют две пересекающиеся прямые, параллельные прямым $AB$ и $AC_1$.

1. Найдем прямую в плоскости $(CD_1E_1)$, параллельную прямой $AB$.

По определению правильной шестиугольной призмы, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Следовательно, в основании $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Запишем это в векторном виде: $\vec{AB} = \vec{ED}$.

Так как $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – призма, то боковое ребро $EE_1$ параллельно и равно ребру $DD_1$. Это означает, что четырехугольник $EDD_1E_1$ является параллелограммом (в данном случае, прямоугольником). Следовательно, $\vec{ED} = \vec{E_1D_1}$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $\vec{AB} = \vec{E_1D_1}$. Это означает, что прямая $AB$ параллельна прямой $E_1D_1$.

Прямая $E_1D_1$ лежит в плоскости $(CD_1E_1)$, так как точки $D_1$ и $E_1$ принадлежат этой плоскости. Таким образом, мы нашли первую прямую $E_1D_1$ в плоскости $(CD_1E_1)$, которая параллельна прямой $AB$ из плоскости $(ABC_1)$.

2. Найдем прямую в плоскости $(CD_1E_1)$, параллельную прямой $AC_1$.

Построим в плоскости $(CD_1E_1)$ прямую, проходящую через точку $C$ и параллельную прямой $AC_1$. Для этого нужно доказать, что вектор $\vec{AC_1}$ компланарен векторам $\vec{CD_1}$ и $\vec{CE_1}$, то есть выражается через них в виде линейной комбинации: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{CD_1} + m \cdot \vec{CE_1}$ для некоторых чисел $k$ и $m$.

Для удобства введем базисные векторы в плоскости основания. Пусть $\vec{u} = \vec{BA}$ и $\vec{v} = \vec{BC}$. Исходя из свойств правильного шестиугольника, выразим другие векторы через базисные:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{u} + \vec{v}$

$\vec{CD} = \vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{u} + \vec{v}$ (где $O$ - центр шестиугольника)

$\vec{DE} = \vec{BA} = \vec{u}$

$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{u} = 2\vec{u} + \vec{v}$

Теперь выразим векторы, определяющие наши плоскости. Пусть высота призмы равна $h$, а вектор, сонаправленный с боковым ребром $AA_1$, равен $\vec{h}$.

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (-\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h}$

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h}$

$\vec{CE_1} = \vec{CE} + \vec{EE_1} = (2\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h}$

Найдем коэффициенты $k$ и $m$ из равенства $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{CD_1} + m \cdot \vec{CE_1}$:

$(-\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h} = k((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h}) + m((2\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h})$

$(-\vec{u} + \vec{v}) + \vec{h} = (k+2m)\vec{u} + (k+m)\vec{v} + (k+m)\vec{h}$

Так как векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{h}$ некомпланарны, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} k + 2m = -1 \\ k + m = 1 \\ k + m = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения $k = 1 - m$. Подставим в первое: $(1 - m) + 2m = -1 \Rightarrow 1 + m = -1 \Rightarrow m = -2$.

Тогда $k = 1 - (-2) = 3$.

Итак, мы получили, что $\vec{AC_1} = 3\vec{CD_1} - 2\vec{CE_1}$.

Это доказывает, что вектор $\vec{AC_1}$ лежит в плоскости, параллельной плоскости векторов $\vec{CD_1}$ и $\vec{CE_1}$. Следовательно, прямая $AC_1$ параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости $(CD_1E_1)$. Например, прямой, проходящей через точку $C$ с направляющим вектором $3\vec{CD_1} - 2\vec{CE_1}$.

3. Проверим, что найденные параллельные прямые в плоскости $(CD_1E_1)$ пересекаются.

Мы нашли, что прямая $AB$ параллельна прямой $E_1D_1$, а прямая $AC_1$ параллельна прямой $l_C$, проходящей через точку $C$ с направляющим вектором $\vec{AC_1}$. Обе прямые, $E_1D_1$ и $l_C$, лежат в плоскости $(CD_1E_1)$.

Прямая $E_1D_1$ не проходит через точку $C$ (так как $C$ лежит в нижнем основании, а $E_1D_1$ - в верхнем). Вектор $\vec{E_1D_1}$ не коллинеарен направляющему вектору прямой $l_C$ (т.е. вектору $\vec{AC_1}$), так как $\vec{E_1D_1}=\vec{AB}=-\vec{u}-\vec{v}$, а $\vec{AC_1}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{h}$. Следовательно, прямые $E_1D_1$ и $l_C$ не параллельны, а значит, они пересекаются, так как лежат в одной плоскости $(CD_1E_1)$.

Вывод

Мы показали, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $AC_1$ в плоскости $(ABC_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($E_1D_1$ и $l_C$) в плоскости $(CD_1E_1)$. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABC_1)$ параллельна плоскости $(CD_1E_1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.