Номер 8.6, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.6. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

a) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

б) $ABB_1$ и $DEE_1$;

в) $ABB_1$ и $CFF_1$;

г) $ACC_1$ и $DFF_1$.

а) Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью нижнего основания призмы $ABCDEF$. Плоскость $A_1B_1C_1$ совпадает с плоскостью верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. По определению призмы, ее основания лежат в параллельных плоскостях. Следовательно, плоскость $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства параллельности плоскостей $ABB_1$ и $DEE_1$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
1. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $DE$. $AB \parallel DE$.
2. $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$ — боковые грани правильной призмы. Боковые ребра правильной призмы параллельны между собой. Следовательно, $BB_1 \parallel EE_1$.
3. Прямые $AB$ и $BB_1$ лежат в плоскости $ABB_1$ и пересекаются в точке $B$. Прямые $DE$ и $EE_1$ лежат в плоскости $DEE_1$ и пересекаются в точке $E$.
Поскольку $AB \parallel DE$ и $BB_1 \parallel EE_1$, то по признаку параллельности плоскостей $(ABB_1) \parallel (DEE_1)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем параллельность плоскостей $ABB_1$ и $CFF_1$, используя тот же признак.
1. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике большая диагональ $CF$ параллельна стороне $AB$. Следовательно, $AB \parallel CF$.
2. Так как призма правильная, ее боковые ребра параллельны: $BB_1 \parallel FF_1$.
3. В плоскости $ABB_1$ лежат пересекающиеся прямые $AB$ и $BB_1$. В плоскости $CFF_1$ лежат пересекающиеся прямые $CF$ и $FF_1$.
Так как $AB \parallel CF$ и $BB_1 \parallel FF_1$, то по признаку параллельности плоскостей $(ABB_1) \parallel (CFF_1)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем параллельность плоскостей $ACC_1$ и $DFF_1$.
1. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Рассмотрим диагонали $AC$ и $DF$. В правильном шестиугольнике при центральной симметрии относительно центра шестиугольника (или при повороте на $180^\circ$) вершина $A$ переходит в вершину $D$, а вершина $C$ переходит в вершину $F$. Это означает, что отрезок $AC$ переходит в отрезок $DF$, следовательно, прямые, содержащие эти отрезки, параллельны: $AC \parallel DF$.
2. Боковые ребра призмы $CC_1$ и $FF_1$ параллельны, так как призма правильная: $CC_1 \parallel FF_1$.
3. В плоскости $ACC_1$ лежат пересекающиеся прямые $AC$ и $CC_1$. В плоскости $DFF_1$ лежат пересекающиеся прямые $DF$ и $FF_1$.
Так как $AC \parallel DF$ и $CC_1 \parallel FF_1$, то по признаку параллельности плоскостей $(ACC_1) \parallel (DFF_1)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.