Номер 8.2, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.2. Укажите параллельные плоскости, содержащие грани правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 8.5).

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ гранями являются два основания (правильные шестиугольники) и шесть боковых граней (прямоугольники). Две плоскости параллельны, если они не пересекаются. Найдем все пары параллельных плоскостей, содержащих грани данной призмы.

1. Плоскости оснований
По определению призмы, ее основания лежат в параллельных плоскостях. В данном случае это плоскость нижнего основания, содержащая многоугольник $ABCDEF$ (обозначим ее $(ABC)$), и плоскость верхнего основания, содержащая многоугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (обозначим ее $(A_1B_1C_1)$).
Таким образом, первая пара параллельных плоскостей: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.

2. Плоскости боковых граней
Чтобы определить, какие из плоскостей боковых граней параллельны, рассмотрим свойства основания. Основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$, у которого противоположные стороны попарно параллельны:
$AB \parallel ED$
$BC \parallel FE$
$CD \parallel AF$

Боковые ребра призмы по определению параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \parallel EE_1 \parallel FF_1$.

Для определения параллельности плоскостей воспользуемся признаком: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$. В плоскости $(ABB_1A_1)$ лежат пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$. В плоскости $(DEE_1D_1)$ лежат пересекающиеся прямые $DE$ и $DD_1$. Так как $AB \parallel DE$ и $AA_1 \parallel DD_1$, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABB_1A_1)$ параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $BCC_1B_1$ и $EFF_1E_1$. Аналогично, в плоскости $(BCC_1B_1)$ лежат пересекающиеся прямые $BC$ и $BB_1$. В плоскости $(EFF_1E_1)$ лежат пересекающиеся прямые $FE$ и $FF_1$. Так как $BC \parallel FE$ и $BB_1 \parallel FF_1$, то плоскость $(BCC_1B_1)$ параллельна плоскости $(EFF_1E_1)$.

- Рассмотрим плоскости, содержащие противоположные грани $CDD_1C_1$ и $FAA_1F_1$. В плоскости $(CDD_1C_1)$ лежат пересекающиеся прямые $CD$ и $CC_1$. В плоскости $(FAA_1F_1)$ лежат пересекающиеся прямые $AF$ и $AA_1$. Так как $CD \parallel AF$ и $CC_1 \parallel AA_1$, то плоскость $(CDD_1C_1)$ параллельна плоскости $(FAA_1F_1)$.

Ответ:
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ существует четыре пары параллельных плоскостей, содержащих ее грани:
1) Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость основания $(A_1B_1C_1)$.
2) Плоскость боковой грани $(ABB_1A_1)$ и плоскость боковой грани $(DEE_1D_1)$.
3) Плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$ и плоскость боковой грани $(EFF_1E_1)$.
4) Плоскость боковой грани $(CDD_1C_1)$ и плоскость боковой грани $(FAA_1F_1)$.