Номер 7.9, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.9. Сторона $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежит в плоскости $\alpha$, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$?

Пусть плоскость правильного шестиугольника $ABCDEF$ называется $\beta$. По условию, сторона $AF$ лежит в плоскости $\alpha$, и при этом плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их линия пересечения — это прямая, содержащая сторону $AF$. Обозначим эту прямую $l$. Все остальные вершины шестиугольника ($B, C, D, E$) не лежат в плоскости $\alpha$, так как в противном случае плоскость $\beta$ совпала бы с плоскостью $\alpha$. Все эти точки ($B, C, D, E$) лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$.

Рассмотрим расположение остальных сторон шестиугольника относительно плоскости $\alpha$:

Сторона CD
В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, следовательно, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$ ($CD \parallel AF$). Прямая $AF$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как в этом случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпали бы, что противоречит условию. Таким образом, прямая, содержащая сторону $CD$, параллельна плоскости $\alpha$, а значит, и сама сторона $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Стороны AB и EF
Сторона $AB$ имеет с плоскостью $\alpha$ одну общую точку — вершину $A$, так как $A$ лежит на прямой пересечения $AF$. Вершина $B$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AB$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$.Аналогично, сторона $EF$ имеет с плоскостью $\alpha$ одну общую точку — вершину $F$. Вершина $E$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $EF$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.

Стороны BC и DE
Рассмотрим прямую, содержащую сторону $BC$. Эта прямая лежит в плоскости шестиугольника $\beta$. В правильном шестиугольнике смежные стороны не параллельны, поэтому прямая $BC$ не параллельна прямой $AF$. Так как обе прямые ($BC$ и $AF$) лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке $P$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $AF$, а прямая $AF$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая, содержащая сторону $BC$, пересекает плоскость $\alpha$.Аналогичное рассуждение применимо и к стороне $DE$. Прямая $DE$ лежит в плоскости $\beta$ и не параллельна прямой $AF$, значит, они пересекаются в некоторой точке $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $AF$ и, следовательно, в плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая, содержащая сторону $DE$, также пересекает плоскость $\alpha$.

Ответ: Сторона $CD$ параллельна плоскости $\alpha$. Стороны $AB$ и $EF$ пересекают плоскость $\alpha$ в своих вершинах $A$ и $F$ соответственно. Прямые, содержащие стороны $BC$ и $DE$, пересекают плоскость $\alpha$.