Страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.4. Верно ли, что если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости?

Нет, данное утверждение неверно.

По определению, прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Рассмотрим утверждение из вопроса. Обозначим "данную прямую" как a, "некоторую прямую, лежащую в плоскости" как b, а саму плоскость как α. Утверждение можно записать так: если $a \parallel b$ и $b \subset \alpha$, то всегда ли $a \parallel \alpha$?

Это утверждение неверно, потому что оно не учитывает случай, когда прямая a сама лежит в плоскости α. Приведем контрпример.

Пусть в плоскости α лежат две различные параллельные прямые: a и b. Такая ситуация возможна, например, две параллельные линии на листе бумаги.

В этом случае условие "прямая a параллельна некоторой прямой b, лежащей в плоскости α" ($a \parallel b$ и $b \subset \alpha$) выполняется.

Однако заключение "данная прямая a параллельна самой плоскости α" ($a \parallel \alpha$) неверно. Прямая a не может быть параллельна плоскости α, поскольку она целиком лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$) и, следовательно, имеет с ней бесконечное множество общих точек, а не ноль.

Поскольку мы нашли случай, когда условие выполняется, а заключение — нет, исходное утверждение является ложным.

Чтобы утверждение стало верным, его необходимо дополнить. Соответствующая теорема (признак параллельности прямой и плоскости) гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. То есть, необходимо добавить условие, что прямая a не лежит в плоскости α ($a \not\subset \alpha$).

Ответ: Нет, неверно.

7.5. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Данное утверждение не является верным. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая прямая может быть либо также параллельна этой плоскости, либо может лежать в этой плоскости.

Для доказательства введем обозначения. Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и плоскость $\alpha$. По условию, одна из прямых, например $a$, параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

Рассмотрим возможные положения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ может быть параллельна плоскости $\alpha$, пересекать ее или лежать в ней. Проанализируем случай, когда $b$ не параллельна $\alpha$.

Предположим, что прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда она должна иметь с плоскостью $\alpha$ хотя бы одну общую точку. Докажем от противного, что если $b$ имеет с $\alpha$ хотя бы одну общую точку, то она целиком лежит в этой плоскости.
Пусть $M$ — общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$.
1. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость $\beta$.
2. Точка $M$ принадлежит прямой $b$, а значит, и плоскости $\beta$. Также $M$ по предположению принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их линия пересечения — это некоторая прямая $c$, которая проходит через точку $M$.
3. Рассмотрим прямые $a$ и $c$. Обе лежат в плоскости $\beta$. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (по условию), а прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. Это значит, что $a$ и $c$ не могут пересекаться. Так как они лежат в одной плоскости $\beta$ и не пересекаются, они параллельны: $a \parallel c$.
4. Мы получили, что в плоскости $\beta$ обе прямые, $b$ и $c$, параллельны одной и той же прямой $a$. По свойству транзитивности параллельных прямых на плоскости, отсюда следует, что $b \parallel c$.
5. Однако мы знаем, что прямые $b$ и $c$ имеют общую точку $M$. Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают, то есть $b=c$.
6. Поскольку прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). А так как $b=c$, то и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что для прямой $b$ возможны только два варианта: либо она параллельна плоскости $\alpha$, либо она лежит в плоскости $\alpha$.

Существование второго варианта опровергает исходное утверждение. Приведем наглядный контрпример: пусть плоскость $\alpha$ — это пол, а прямая $b$ — линия стыка плиток на полу. Прямая $a$ — это край подвесного потолка, параллельный линии $b$. В этом случае $a \parallel b$ и $a \parallel \alpha$, но прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$, а лежит в ней.

Ответ: Нет, не верно. Вторая прямая может лежать в данной плоскости.

7.6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD укажите параллельные ребра и грани (рис. 7.8).

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ — это квадрат, а вершина $S$ проецируется в центр основания.

Параллельные ребра

Параллельными называются ребра, лежащие на параллельных прямых. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, у которого противоположные стороны параллельны. Следовательно, ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $BC$ параллельно ребру $DA$. Других пар параллельных ребер в пирамиде нет. Боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ пересекаются в одной точке $S$, поэтому не могут быть параллельны друг другу. Любое боковое ребро (например, $SA$) и ребро основания, не имеющее с ним общих точек (например, $BC$), являются скрещивающимися, а не параллельными.

Ответ: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel DA$.

Параллельные грани

Параллельными называются грани, которые лежат в параллельных плоскостях и не имеют общих точек. В пирамиде $SABCD$ любая боковая грань (например, $SAB$) пересекает грань основания $ABCD$ по общему ребру ($AB$). Любые две боковые грани также пересекаются (они имеют как минимум одну общую точку — вершину $S$). Следовательно, в данной пирамиде нет параллельных граней.

Ответ: В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ нет параллельных граней.

Параллельность ребер и граней

Ребро параллельно грани, если прямая, содержащая это ребро, не имеет с плоскостью грани общих точек. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, ребро параллельно грани, если оно параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой грани.
Рассмотрим ребра основания. Ребро $AB$ параллельно ребру $CD$ ($AB \parallel CD$), которое лежит в плоскости грани $SCD$. Так как ребро $AB$ не принадлежит плоскости $(SCD)$, то ребро $AB$ параллельно грани $SCD$.
Аналогично для других ребер основания:
- Ребро $CD$ параллельно грани $SAB$ (так как $CD \parallel AB$, а прямая $AB$ лежит в грани $SAB$).
- Ребро $BC$ параллельно грани $SDA$ (так как $BC \parallel DA$, а прямая $DA$ лежит в грани $SDA$).
- Ребро $DA$ параллельно грани $SBC$ (так как $DA \parallel BC$, а прямая $BC$ лежит в грани $SBC$).
Боковые ребра не параллельны граням, которым они не принадлежат. Например, боковое ребро $SA$ пересекает плоскость основания $ABCD$ в точке $A$ и не может быть ей параллельно. Также ребро $SA$ не параллельно грани $SBC$, так как оно не параллельно ни одной из прямых, лежащих в этой грани ($SB, SC, BC$).

Ответ: Ребро $AB$ параллельно грани $SCD$; ребро $CD$ параллельно грани $SAB$; ребро $BC$ параллельно грани $SDA$; ребро $DA$ параллельно грани $SBC$.

7.7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDЕF укажите па- раллельные ребра и грани (рис. 7.9).

Рис. 7.9

В основании правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника и определением параллельности в пространстве.

Параллельные ребра

Параллельные ребра могут существовать только в основании пирамиды, так как все боковые ребра пересекаются в одной точке $S$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Таким образом, мы имеем следующие пары параллельных ребер:

1. Ребро $AB$ параллельно ребру $ED$ (обозначается $AB \parallel ED$).

2. Ребро $BC$ параллельно ребру $FE$ (обозначается $BC \parallel FE$).

3. Ребро $CD$ параллельно ребру $AF$ (обозначается $CD \parallel AF$).

Это все пары параллельных ребер в данной пирамиде.

Ответ: $AB \parallel ED$, $BC \parallel FE$, $CD \parallel AF$.

Параллельные ребра и грани

Сначала рассмотрим параллельность граней друг другу. В пирамиде нет параллельных граней. Основание $ABCDEF$ пересекается с каждой боковой гранью (например, $SAB$, $SBC$ и т.д.) по ребру основания. Любые две боковые грани также пересекаются (либо по общему боковому ребру, либо в общей вершине $S$).

Теперь рассмотрим параллельность ребер граням. Ребро параллельно грани, если оно не лежит в этой грани и параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой грани. Используя найденные пары параллельных ребер основания, получаем:

1. Ребро $AB$ параллельно грани $SED$, так как $AB \parallel ED$ и ребро $ED$ принадлежит грани $SED$. Запись: $AB \parallel (SED)$.

2. Ребро $BC$ параллельно грани $SFE$, так как $BC \parallel FE$ и ребро $FE$ принадлежит грани $SFE$. Запись: $BC \parallel (SFE)$.

3. Ребро $CD$ параллельно грани $SAF$, так как $CD \parallel AF$ и ребро $AF$ принадлежит грани $SAF$. Запись: $CD \parallel (SAF)$.

Аналогично для противолежащих ребер:

4. Ребро $DE$ параллельно грани $SAB$ (так как $DE \parallel AB$).

5. Ребро $EF$ параллельно грани $SBC$ (так как $EF \parallel BC$).

6. Ребро $FA$ параллельно грани $SCD$ (так как $FA \parallel CD$).

Ответ: В пирамиде нет параллельных граней. Существуют ребра, параллельные граням: $AB \parallel (SED)$, $BC \parallel (SFE)$, $CD \parallel (SAF)$, $DE \parallel (SAB)$, $EF \parallel (SBC)$, $FA \parallel (SCD)$.

параллельные ребра и грани (рис. 7.6).

7.8. Дан параллелограмм $ABCD$. Через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что $CD \parallel \alpha$.

Для решения этой задачи воспользуемся определением параллелограмма и признаком параллельности прямой и плоскости.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме $ABCD$ сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Запишем это с помощью математических символов: $CD \parallel AB$.

2. По условию задачи, через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $AB$, целиком лежит в плоскости $\alpha$. Запишем это так: $AB \subset \alpha$.

3. Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Мы уже установили, что $CD \parallel AB$ и $AB \subset \alpha$. Чтобы применить признак, нам осталось убедиться, что прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Допустим, что прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $AB$ тоже лежит в плоскости $\alpha$, то получается, что плоскость $\alpha$ проходит через обе параллельные прямые $AB$ и $CD$. Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Это означает, что плоскость $\alpha$ является плоскостью, в которой лежит параллелограмм $ABCD$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью параллелограмма. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \not\subset \alpha$).

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются:

• Прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$.
• Прямая $CD$ параллельна прямой $AB$.
• Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$), прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$), а прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \not\subset \alpha$), то по признаку параллельности прямой и плоскости $CD \parallel \alpha$.

7.9. Сторона $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежит в плоскости $\alpha$, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены остальные стороны $ABCDEF$ относительно плоскости $\alpha$?

Пусть плоскость правильного шестиугольника $ABCDEF$ называется $\beta$. По условию, сторона $AF$ лежит в плоскости $\alpha$, и при этом плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их линия пересечения — это прямая, содержащая сторону $AF$. Обозначим эту прямую $l$. Все остальные вершины шестиугольника ($B, C, D, E$) не лежат в плоскости $\alpha$, так как в противном случае плоскость $\beta$ совпала бы с плоскостью $\alpha$. Все эти точки ($B, C, D, E$) лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$.

Рассмотрим расположение остальных сторон шестиугольника относительно плоскости $\alpha$:

Сторона CD
В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, следовательно, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$ ($CD \parallel AF$). Прямая $AF$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как в этом случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпали бы, что противоречит условию. Таким образом, прямая, содержащая сторону $CD$, параллельна плоскости $\alpha$, а значит, и сама сторона $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

Стороны AB и EF
Сторона $AB$ имеет с плоскостью $\alpha$ одну общую точку — вершину $A$, так как $A$ лежит на прямой пересечения $AF$. Вершина $B$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AB$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$.Аналогично, сторона $EF$ имеет с плоскостью $\alpha$ одну общую точку — вершину $F$. Вершина $E$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $EF$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.

Стороны BC и DE
Рассмотрим прямую, содержащую сторону $BC$. Эта прямая лежит в плоскости шестиугольника $\beta$. В правильном шестиугольнике смежные стороны не параллельны, поэтому прямая $BC$ не параллельна прямой $AF$. Так как обе прямые ($BC$ и $AF$) лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке $P$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $AF$, а прямая $AF$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая, содержащая сторону $BC$, пересекает плоскость $\alpha$.Аналогичное рассуждение применимо и к стороне $DE$. Прямая $DE$ лежит в плоскости $\beta$ и не параллельна прямой $AF$, значит, они пересекаются в некоторой точке $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $AF$ и, следовательно, в плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая, содержащая сторону $DE$, также пересекает плоскость $\alpha$.

Ответ: Сторона $CD$ параллельна плоскости $\alpha$. Стороны $AB$ и $EF$ пересекают плоскость $\alpha$ в своих вершинах $A$ и $F$ соответственно. Прямые, содержащие стороны $BC$ и $DE$, пересекают плоскость $\alpha$.

7.10. Плоскость проходит через середины двух сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника. Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник, как $\beta$.Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$.По условию задачи, существует плоскость $\alpha$, которая проходит через точки $M$ и $N$.Также дано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью $\beta$, то есть $\alpha \neq \beta$.Требуется доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна третьей стороне треугольника, то есть $AC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим отрезок $MN$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, то по определению отрезок $MN$ является его средней линией.

2. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Для нас важна параллельность: $MN \parallel AC$.

3. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$. Из аксиомы стереометрии следует, что если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $MN$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $MN \subset \alpha$.

4. Теперь докажем, что прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$. Допустим, что $AC \subset \alpha$. Тогда точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$. Но мы знаем, что точка $M$ (середина $AB$) также принадлежит $\alpha$. Значит, плоскость $\alpha$ проходит через три вершины треугольника: $A$, $C$ и хотя бы одну точку прямой $AB$ (а значит и через всю прямую $AB$, и точку $B$). Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит все три вершины треугольника $A$, $B$, $C$ и совпадает с плоскостью треугольника $\beta$. Это противоречит условию задачи, согласно которому $\alpha \neq \beta$. Следовательно, наше допущение неверно, и прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \not\subset \alpha$).

5. Мы установили следующее:
- Прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$.
- Прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.
- Прямая $AC$ параллельна прямой $MN$.

Эти три условия в точности соответствуют признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Применяя этот признак, мы делаем вывод, что прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$). Это означает, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника и не совпадающая с плоскостью этого треугольника, параллельна его третьей стороне.

7.11. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямая и плоскость.

В стереометрии прямая $a$ и плоскость $\alpha$ называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки ($a \parallel \alpha$). Это равносильно тому, что расстояние от любой точки прямой до плоскости является постоянной величиной. В реальном мире мы не имеем дело с идеальными бесконечными прямыми и плоскостями, а используем их физические модели (идеализации): прямую представляем как очень тонкий и прямой объект (струна, луч лазера, край стола), а плоскость — как очень ровную и гладкую поверхность (поверхность воды в стакане, зеркало, пол).

Приведем несколько примеров из реальной жизни, которые иллюстрируют параллельность прямой и плоскости.

1. Линия пересечения потолка и стены в комнате и пол
Представим пол в комнате как плоскость. Линия, по которой потолок соединяется со стеной, является идеализацией прямой. Если комната имеет стандартную прямоугольную форму (пол и потолок параллельны), то эта прямая будет параллельна плоскости пола. Каждая точка на этой линии находится на одинаковом расстоянии от пола, равном высоте комнаты.

2. Карандаш и поверхность стола
Поверхность стола (столешница) является хорошей моделью плоскости. Если взять карандаш (модель прямой) и держать его над столом строго горизонтально, он будет параллелен плоскости стола. Все точки карандаша будут равноудалены от столешницы.

3. Рельс и поверхность земли
На ровном и прямом участке железнодорожного пути поверхность земли можно рассматривать как плоскость. В этом случае рельс, уложенный на шпалы, будет моделью прямой, параллельной этой плоскости. Он не касается земли и находится на постоянной небольшой высоте над ней.

4. Натянутый провод и поверхность дороги
Линию электропередачи (натянутый провод) можно считать прямой. Если она проходит над ровным и горизонтальным участком дороги (плоскость), то провод будет параллелен поверхности дороги.

Ответ: Примерами реальных объектов, которые можно идеализировать как параллельные прямую и плоскость, являются: линия стыка потолка и стены (прямая) и пол комнаты (плоскость); натянутый над дорогой провод (прямая) и поверхность дороги (плоскость); рельс железнодорожного пути (прямая) и ровный участок земли под ним (плоскость); карандаш, удерживаемый горизонтально над столом (прямая), и поверхность стола (плоскость).

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

7.12. Попробуйте определить понятие параллельности двух плоскостей.

7.12. Определение понятия параллельности двух плоскостей можно сформулировать по аналогии с параллельными прямыми на плоскости. Подобно тому как параллельные прямые никогда не пересекаются, параллельные плоскости — это плоскости, которые не имеют общих точек, как бы далеко мы их ни продолжали в пространстве.

Формальное определение

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, это записывается как $\alpha \parallel \beta$. С точки зрения теории множеств, это означает, что их пересечение является пустым множеством: $\alpha \cap \beta = \emptyset$.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

В трехмерном пространстве для двух различных плоскостей существуют только две возможности их взаимного расположения:

1. Плоскости пересекаются. В этом случае их общей частью (пересечением) является прямая линия. Классический пример — стена и пол в комнате, которые пересекаются по линии плинтуса.

2. Плоскости параллельны. Они не имеют ни одной общей точки.

Примечание: Третий случай — когда плоскости совпадают. Однако в геометрии под параллельными плоскостями обычно понимают две различные плоскости, которые не пересекаются.

Признак параллельности двух плоскостей (теорема)

Для доказательства параллельности двух плоскостей на практике используется ключевая теорема, известная как признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Формально: пусть в плоскости $\alpha$ лежат прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$ ($a \cap b \neq \emptyset$), а в плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$, пересекающиеся в точке $N$ ($a_1 \cap b_1 \neq \emptyset$). Если известно, что $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то из этого следует, что плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.

Примеры из окружающего мира

- Пол и потолок в комнате.
- Противоположные грани куба или кирпича (параллелепипеда).
- Полки в книжном шкафу.
- Поверхность стола и пол (при условии, что стол стоит на ровной горизонтальной поверхности).

Ответ: Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек (то есть не пересекаются). Обозначается это как $\alpha \parallel \beta$. Основным способом установления параллельности плоскостей является признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.